Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных вида:

где p₀, p₁, …,p_n – функции от х или постоянные величины, причем p₀ ¹ 0.

Если f(x) = 0, то уравнение называется линейным однородным уравнением, если f(x) ¹ 0, то называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p₀, p₁, p₂, … p_n – постоянные числа, то уравнение

Уравнение вида , где – постоянные называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.короче.

Теорема: если – частные решения уравнения , причем , то – есть общее решение этого уравнения.

Для определения частных решений сотавляют характеристическоое уравнение: .

В зависимости от коэффициентов характеристическое уравнение может иметь либо 2 различных действительных корня, либо кратные корни, либо комплексные.

Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни.

2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем:

Корни х.у.	Частные решения	Общее решение
1. Действительные разные:
2. Равные
3. Комплексные сопряженные:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим неоднородное уравнение (1) с постоянными коэффициентами и с непрерывной правой частью. Уравнение с такими же коэффициентами, но правой частью равной нулю:

(2)

называется однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (1)

Теорема 1. Если известно какое-либо частное решение неоднородного уравнения (1), то общее его решение есть сумма этого частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения: .

Теорема 2.

Правая часть д.у.	Корни х.у.	Вид ч.р.
, где – многочлен степени	а) число 0 не является корнеми х.у.	, где – многочлен степени не выше
б) число 0 является корнеми х.у. кратности
, – вещественное число	а) число не является корнеми х.у.
б) число является корнеми х.у. кратности
– многочлены степени не выше и хоть один степени	а) число не является корнеми х.у.	– многочлены степени не выше
б) число является корнеми х.у. кратности
	а) число не является корнеми х.у.
	б) число является корнеми х.у. кратности