К УЧИТЕЛЮ
Известно, что решение текстовых задач представляет большие трудности для учащихся. Известно и то, какой именно этап решения особенно труден. Это самый первый этап – анализ текста задачи. Учащиеся плохо ориентируются в тексте задачи, в ее условиях и требовании.
Текст задачи – это рассказ о некоторых жизненных фактах:
· "Маша пробежала 100 м, а навстречу ей …",
· "Ученики первого класса купили 12 гвоздик, а ученики второго …";
· "Мастер сделал за смену 20 деталей, а его ученик …".
В тексте важно всё: и действующие лица, и их действия, и числовые характеристики. При работе с математической моделью задачи (числовым выражением или уравнением) часть этих деталей опускается. Но мы именно и учим умению абстрагироваться от некоторых свойств и использовать другие.
Умение ориентироваться в тексте математической задачи – важный результат и важное условие общего развития ученика. И заниматься этим нужно не только на уроках математики, но и на уроках чтения и изобразительного искусства. Некоторые задачи – хорошие темы для рисунков. И любая задача – хорошая тема для пересказа. А если в классе есть уроки театра, то некоторые математические задачи можно инсценировать. Разумеется, все эти приемы: пересказ, рисунок, инсценировка – могут иметь место и на самих уроках математики. Итак, работа над текстами математических задач – важный элемент общего развития ребенка, элемент развивающего обучения.
Но достаточно ли для этого тех задач, которые имеются в ныне действующих учебниках и решение которых входит в обязательный минимум? Нет, недостаточно. В обязательный минимум входит умение решать задачи определенных типов:
· о числе элементов некоторого множества;
· о движении, его скорости, пути и времени;
· о цене и стоимости;
· о работе, ее времени, объеме и производительности труда.
Указанные четыре темы являются стандартными. Считается, что умение решать задачи на эти темы может научить решать задачи вообще. К сожалению, это не так. Хорошие ученики, умеющие решить практически любую задачу из учебника на перечисленные темы, часто бывают не в состоянии понять условие задачи на другую тему.
Выход заключается в том, чтобы не ограничиваться какой-либо тематикой текстовых задач, а решать и нестандартные задачи, то есть задачи, тематика которых не является сама по себе объектом изучения. Ведь не ограничиваем мы сюжеты рассказов на уроках чтения!
Нестандартные задачи нужно решать в классе ежедневно. Их можно черпать в учебниках математики для 5–6 классов, в журналах "Математика в школе" и даже "Квант".
Чтобы облегчить поиск таких задач для решения на уроках в четвертом классе, мы предлагаем эту книжку. Она - продолжение аналогичных книжек для первого, второго и третьего классов. Число задач в ней таково, что можно выбрать из них задачи для каждого урока: по одной на урок. Задачи решаются дома. Но очень часто нужно разбирать их и в классе. Среди предлагаемых задач есть такие, которые сильный ученик решает моментально. Тем не менее нужно требовать и от сильных детей достаточной аргументации, объясняя, что на легких задачах человек учится способам рассуждения, которые понадобятся при решении трудных задач. Нужно воспитывать в детях любовь к красоте логических рассуждений. В крайнем случае можно добиваться от сильных учеников таких рассуждений, требуя построить объяснение, понятное для других – для тех, кто не понимает быстрого решения.
Среди задач есть совершенно однотипные в математическом отношении. Если дети увидят их – замечательно. Учитель может и сам показывать это. Однако недопустимо говорить: решаем эту задачу, как ту, и ответ будет такой же. Дело в том, что, во-первых, не все учащиеся способны к таким аналогиям. А во-вторых, в нестандартных задачах фабула не менее важна, чем математическое содержание. Поэтому лучше подчеркивать связи между задачами со сходной фабулой.
Не все задачи нужно обязательно решать (их здесь больше, чем уроков математики в учебном году). Возможно, вам захочется поменять порядок следования задач или добавить задачу, которой здесь нет. Это тем легче сделать, что задачи в книжке идут вперемежку по своей тематике.
ТЕКСТЫЗАДАЧ И ИХ РЕШЕНИЕ
1. Сколько разных нарядных костюмов у Андрея, если у него три пары нарядных брюк, два нарядных пиджака и два нарядных галстука и все эти предметы подходят друг другу?
Решение. К любой паре брюк можно подобрать любой из двух пиджаков и любой из двух галстуков. То есть к любой паре брюк можно подобрать четыре варианта "пиджак + галстук". А так как пар брюк имеется 3, то всего нарядных костюмов 12. Желательно начертить на доске такое дерево возможностей:
А еще лучше сделать такой рисунок.
Ответ: 12.
2. Как тремя взвешиваниями на чашечных весах без гирь найти одну фальшивую (более легкую) монету из 20 монет?
Решение. Разделим монеты на три группы: 9, 9 и 2 монеты. Первое взвешивание – сравниваем вес первых двух групп. Если они одинаковы, то фальшивая монета среди двух монет третьей группы, и мы вторым взвешиванием сравниваем их между собой. Та, которая легче, – фальшивая. Если в первом взвешивании одна из групп окажется легче, то фальшивая монета в ней. Делим эту группу на три группы по три монеты. Вторым взвешиванием устанавливаем, которая из этих трех групп легче, а третьим взвешиванием находим легкую монету в этой тройке.
3. Продолжи последовательность: 8, 6, 10, 6, 12, 6,....
Решение. Все четные члены последовательности равны 6, а все нечетные получаются прибавлением числа 2 к предыдущему нечетному члену.
Ответ: 8, 6, 10, 6, 12, 6, 14, 6, 16, 6,....
4. Разгадай ребус: 5* + **3 = **01.
Решение. Достаточно записать пример в столбик, и решение будет очевидным.
Ответ: 58 + 943 = 1001.
5. В одной бочке 50 л жидкого дегтя, в другой – 50 л жидкого меда. Ложку дегтя переливают в бочку меда, а потом ложку полученной смеси переливают в бочку дегтя. Чего стало больше: меда в дегте или дегтя в меде?
Решение. Это задача на тему поговорки "Ложкой дегтя можно испортить бочку меда". Но интересна она не этим, а тем, что даже взрослые люди часто дают на нее неверный ответ: дегтя в меде больше, так как дегтя перелили целую ложку, а меда перелили не целую ложку (ложку, в которой был также и деготь). После того как будут выслушаны разные ответы, нужно дать такое решение задачи.
В результате переливаний в первой бочке оказалось х миллилитров меда. Так как в ней всего 50000 мл, то дегтя в ней 50000 – х миллилитров. Во второй бочке осталось поэтому 50000 – х миллилитров меда. Значит, дегтя в ней тоже х мл.
И сопроводить решение таким рисунком:
Довод в пользу неверного ответа, который казался таким убедительным, теперь легко опровергнуть: во время второго переливания часть дегтя вернули обратно.
Ответ: поровну.
6. В двух кучах лежат камни. Двое играющих по очереди берут из любой кучи произвольное число камней. Выигрывает тот, кто возьмет последний камень. Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть?
Решение. Суть игры в том, чтобы уравнивать число камней в кучах. Если один игрок уравняет их, то другой обязательно нарушит это равенство и т.д. Число камней все время убывает, и когда-нибудь игрок, уравнивающий число камней в кучах, доведет это равенство до 0–0, то есть выиграет.
Отметим, что очень желательно организовать эту игру. Камни для этого иметь необязательно. Можно просто написать на доске:
| 1-я куча | 2-я куча | или | 1-я куча | 2-я куча |
В первом случае надо начинать первым, забирая из второй кучи 8 камней (уравнивая кучи). Во втором случае надо предоставить первый ход противнику и каждым своим ходом уравнивать кучи.
Ответ: Если число камней в кучах одинаково, нужно предоставить первый ход партнеру, а если неодинаково – начать игру, уравнивая число камней в кучах.
7. Шифром Юлия Цезаря по правилу "прибавь четыре" зашифруй фразу "Век живи – век учись".
Решение. Как мы писали в аналогичной книге для третьеклассников, шифр Юлия Цезаря состоит в следующем. Алфавит пишется по кругу (за буквой я следует буква а), и каждая буква шифруемой фразы заменяется другой, следующей за ней (или перед ней) на определенное число букв. Шифр "прибавь четыре" означает, что каждую букву фразы "век живи – век учись" нужно заменять четвертой от нее буквой.
Ответ: Ёио кмём – ёио чымха.
8. Известно, что a + b = 7. Чему равно (а + 8) + b?
Решение. Задачу можно изложить, например, так. У Вовы в двух карманах было 7 рублей. Он положил в левый карман еще 8 рублей. Сколько теперь у него денег в обоих карманах?
Ответ: 15.
9. Переложи одну спичку, чтобы равенство стало верным (это можно сделать двумя способами):
Решение. Надо воспользоваться тем, что в римской нумерации XI – это 11, а IX – это 9.
Ответ: 1-й способ
2-й способ
10. Друзья при прощании обменялись фотографиями. Фотографий понадобилось 20. Сколько было друзей?
Решение осуществим подбором. Если бы друзей было двое, то фотографий понадобилось бы всего две. Если бы их было трое, то понадобилось бы шесть фотографий, как это видно из рисунка. Если друзей четверо, то из следующего рисунка видно, что фотографий нужно 12. А если друзей пятеро, то фотографий нужно 20 (см. последний рисунок). Можно рассуждать и более квалифицированно: каждый должен подарить на одну фотографию меньше, чем всего имеется друзей. Произведение двух последовательных чисел равно 20, если большее из чисел равно 5.
Ответ: 5.
11. У Кати вдвое больше пятерок, чем у Вовы, а у него на 6 пятерок меньше, чем у Кати. Сколько пятерок у Вовы?
Решение. Эту задачу можно решить арифметически, а можно с помощью уравнения. Если в классе есть дети, которые могут сразу решить эту задачу, нужно попросить их придумать, как объяснить решение остальным. Это относится и к арифметическому, и к алгебраическому решению.
Арифметическое решение подсказывается рисунком:
Сразу видно, что у Вовы 6 пятерок, а у Кати их 12.
Может показаться, что если задача решается так просто, то это значит, что не нужно ее решать другим способом. Однако именно на легких задачах можно научиться новому методу решения. Данная задача очень для этого удобна. Мы вызываем к доске ученика и просим начать записывать уравнение. Что можно записать? Конечно, знак равенства:
=
Этим самым начат поиск следующих шагов: что чему равно в данной задаче? Может быть, что-то равно 6? Дописываем:
= 6.
Многие догадаются, что шести равна разность числа Катиных и числа Вовиных пятерок. И мы так и запишем:
(число Катиных пятерок) – (число Вовиных пятерок) = 6.
Получилось уравнение. Но в нем слишком много неизвестных – два. Хорошо бы выразить эти неизвестные через один и тот же х. Кстати, вспоминаем, что спрашивается в задаче. И приходим к мысли обозначить через х именно эту величину:
(число Катиных пятерок) – х = 6.
Теперь уже многие догадаются, что число Катиных пятерок равно 2 х, и уравнение примет вид:
2 х – х = 6.
Ответ: 6.
12. Эту фигуру нужно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды.
Решение очевидно. Начинать обводку можно с любой точки.
13. Известно, что a + b = 12. Чему равно а + (b + 5)?
Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему (см. например, задачу 8).
Ответ: 17.
14. У Саши втрое больше марок с портретами русских писателей, чем у Пети, а у него на 4 таких марки меньше, чем у Саши. Сколько таких марок у Пети?
Решение. Арифметическое решение подсказывается рисунком. Сразу видно, что у Саши 6 таких марок, а у Пети их 2.
Алгебраическое решение начинаем с записи знака равенства:
=
Но что чему равно в данной задаче? Может быть, что-то равно 4? Дописываем:
= 4.
Многие догадаются, что четырем равна разность числа Сашиных и числа Петиных марок:
(число Сашиных марок) – (число Петиных марок) = 4.
Получилось уравнение с двумя неизвестными. Выразим эти неизвестные через один и тот же х. Обозначим через х ту величину, о которой спрашивается в задаче:
х – число Петиных марок. Получается, что:
(число Сашиных марок) – х = 4.
Теперь уже многие догадаются, что число Петиных марок равно 3 х, и уравнение примет вид:
3 х – х = 6.
Ответ: 2.
15. Эту фигуру нужно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды.
Решение очевидно. Начинать обводку можно с любой точки.
16. Из надписи 1234567891011121314151617181920 вычеркни 21 цифру, не меняя порядка цифр, чтобы оставшееся число было:
а) возможно большим; б) возможно маленьким.
Решение. Всего в надписи 31 цифра. Нужно оставить из них 31 – 21 = 10 цифр.
а) Чтобы число было наибольшим, нужно сделать его старшие цифры наибольшими. Первой сделаем цифру 9, вычеркнув первые восемь цифр: 91011121314151617181920.
Сделать второй цифрой 9 нам не удастся, так как тогда останется такое число: 9920, а нам нужно число десятизначное. Не удастся сделать второй цифрой и 8, и 7, а вот 6 можно сделать второй цифрой, вычеркнув 13 цифр. Остальные цифры останутся невычеркнутыми.
Ответ: 9617181920.
б) Чтобы число было наименьшим, нужно сделать его старшие цифры наименьшими. Первой сделаем цифру 1, второй – 0, вычеркнув девять цифр: 1011121314151617181920.
Сделать третьей цифрой 0 нам не удастся, не удастся вообще использовать нуль не в качестве последней цифры. Поэтому используем единицы в качестве следующих семи цифр.
Ответ: 1011111110.
17. Известно, что a + b = 70. Чему равно (а – 3) + b?
Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.
Ответ: 67.
18. Эту фигуру нужно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды. Из какой точки можно начать обводку?
Решение. Попытка обвести фигуру, начиная, например, с точки А, не приведет к цели. А начав с точки В или с точки С, мы можем решить задачу. Все дело в том, что из точки В ведут три пути и из точки С – тоже три. Если выйти из точки А, то точку В придется проходить так: войти в нее по первому пути, выйти по второму, войти по третьему, и уже не выйти из нее, так как больше путей нет, а дважды проходить один и тот же путь нельзя. То есть если начинать из точки А, то в точке В нужно завершить обход фигуры. Но то же можно сказать и о точке С: ее тоже нельзя пройти, и если начать движение из А, то нужно лишь закончить обход в С. Однако мы не можем завершить обход в двух разных точках: в В и в С.
Если же начать путь в В, то можно завершить его в С. А если начать путь в С, то можно завершить его в В.
Ответ: Из точки В или из точки С.
19. Друзья при встрече обменялись рукопожатиями. Рукопожатий было 15. Сколько было друзей?
Решение осуществим подбором. Если бы друзей было двое, то рукопожатие было бы всего одно. Если бы их было трое, то рукопожатий было бы три, как это видно из рисунка. Если друзей четверо, то из второго рисунка видно, что рукопожатий было бы 6. Если друзей пятеро, то рукопожатий 10 (см. третий рисунок). А если их шестеро, то рукопожатий 15 (см. последний рисунок).
Ответ: 6.
20. Известно, что a + b = 24. Чему равно (а + 7) + (b – 2)?
Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.
Ответ: 29.
21. В левом нижнем углу шахматной доски (на поле а1) стоит ладья. Два игрока по очереди ходят ею на любое число полей вправо или вверх. Побеждает тот, кто попадет ладьей в правый верхний угол доски (на поле h8). Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть?
Решение. Суть игры в том, чтобы ходить ладьей на диагональ а1–h8. Если один игрок сделает это, то другой обязательно уйдет с этой диагонали. И рано или поздно игрок, ставящий ладью на эту диагональ, поставит ее на поле h8, то есть выиграет.
Ответ: Нужно предоставить первый ход партнеру и каждым своим ходом возвращать ладью на диагональ а1 – h8.
Отметим, что очень желательно организовать эту игру. Шахматы для этого иметь необязательно, а вот доску, разлинованную в клетку, иметь полезно. На такой доске мгновенно рисуется шахматная доска и отмечаются точками положения ладьи после каждого хода.
22. У Милы вчетверо больше кукол, чем у Лены, а у нее на 12 кукол меньше, чем у Милы. Сколько кукол у Милы?
Арифметическое решение подсказывается рисунком. Сразу видно, что у Милы 16 кукол, а у Лены их 4.
Алгебраическое решение начинаем с записи знака равенства:
=
Но что чему равно в данной задаче? Может быть, что-то равно 12? Дописываем:
= 12.
Многие догадаются, что двенадцати равна разность числа кукол Милы и Лены:
(число кукол Милы) – (число кукол Лены) = 12.
Получилось уравнение с двумя неизвестными. Выразим эти неизвестные через один и тот же х. Обозначать через х ту величину, о которой спрашивается в задаче, было бы неудобно: у Милы кукол больше, чем у Лены, и пришлось бы х делить на 4. Поэтому обозначим через х число кукол Лены:
х – число кукол у Лены. Получается, что:(число кукол Милы) – х = 12.
Теперь уже многие догадаются, что число кукол Милы равно 4 х, и уравнение примет вид:
4 х – х = 12.
Ответ: 16.
23. В клетке сидят две змеи одинаковой толщины. Одна из них длинная, другая – короткая. Придумайте такой лаз из клетки, чтобы короткая змея могла через него выбраться из клетки, а длинная – не могла.
Ответ: Лаз должен пересекать сам себя, имея форму петли. Тогда короткая змея пролезет через него, а длинная запрет сама себя:
24. Разгадай ребус: 
Решение. Последовательность решения может быть такой:
И так далее.
Ответ: 234785 x 3215.
25. Эту фигуру нужно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды. Из какой точки можно начать обводку?
Решение. Начинать можно из точки, в которой сходится нечетное число путей.
Ответ: Из точки А или из точки D.
26. Известно, что a + b = 14. Чему равно (а + 7) + (b – 7)?
Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.
Ответ: 14.
27. Бригада из пяти плoтникoв и oднoгo стoляра выпoлнила рабoту. Плoтники пoлучили за нее пo 200 рублей, а стoляр – на 30 рублей больше среднегo зарабoтка бригады. Скoлькo пoлучил за рабoту стoляр?
Решение. Конечно, можно решить эту задачу с помощью уравнения: 
,
х + 1000 + 180 = 6 х,
5 х = 1180,
х = 236.
Но гораздо лучше эту задачу оживить таким, например, рассказом.
Пятеро плотников и один столяр выполнили работу по остеклению большого балкона. Когда они показали работу хозяину, он остался очень доволен и дал им за это деньги. Работники сосчитали деньги и увидели, что сумма делится на шесть. Они разделили деньги поровну. Но тут один из плотников сказал: "Так несправедливо. Столяр выполнил более важную работу, чем мы, плотники. Так что нужно и денег дать ему больше. Дадим ему больше на 30 рублей". Все согласились. Плотники собрали 30 рублей и отдали их столяру. После этого нужно потребовать пересказать всю эту историю. А затем пусть дети ответят на вопросы:
1) Можно ли считать, что вначале столяр и плотники получили средний заработок? (Да, так как вначале деньги разделили поровну.)
2) Сколько денег собрали затем с каждого плотника? (30 р.: 5 = 6 р.)
3) Сколько денег имел каждый член бригады первоначально? (200 р. + 6 р. = 206 р.)
4) Сколько денег получил столяр в результате?
(206 р. + 30 р. = 236 р.)
Ответ: столяр заработал 236 рублей.
28. Сколько кратчайших путей ведет из домика Кенги в домик Совы по этим дорожкам?
Решение. Из точки К в точку А ведет один путь. Точно то же можно сказать о точках Б, В, Г, Д и Е. В точку Ж ведут из К два пути: один через точку А, другой – через Д. В точку Н ведут 3 пути, в точку О – 6 путей, в точку И – 4 пути, в точку М – 5 путей, в точку П – 10 путей. В точку С ведет 15 путей.
Ответ: 15.
29. Сколькими взвешиваниями на чашечных весах без гирь можно найти одну (более легкую) монету из 25 монет?
Ответ: Тремя, так как число монет больше 9, но не больше 27.
30. Бригада из шести плoтникoв и oднoгo стoляра выпoлнила рабoту. Плoтники пoлучили за нее пo 200 рублей, а стoляр – на 30 рублей больше среднегo зарабoтка бригады. Скoлькo пoлучил за рабoту стoляр?
Решение. Задача решается точно так же, как и задача 27. Ее можно использовать, чтобы убедиться, что дети поняли решение задачи 27.
Ответ: Столяр заработал 235 рублей.
31. Шифром Юлия Цезаря по правилу "прибавь два" расшифруй фразу "ргонглъг ж росв бпд нгогроср".
Решение. Заменяем каждую букву той, которая идет за ней второй по алфавиту.
Ответ: Терпенье и труд всё перетрут.
32. Эту фигуру нужно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды. Из какой точки можно начать обводку?
Решение. Начинать можно из точки, в которой сходится нечетное число путей.
Ответ: Из точки В или из точки D.
33. Продолжи последовательность: 1, 2, 3, 10, 20, 30, 100, 200, 300, ….
Решение. Каждая тройка членов – это числа вида 1, 2, 3 с одинаковым, каждый раз увеличивающимся на один числом нулей на конце.
Ответ: 1, 2, 3, 10, 20, 30, 100, 200, 300, 1000, 2000, 3000, 10000, 20000, 30000, ….
34. Комиссия из трех человек работает над документами, хранящимися в сейфе. Сколько нужно установить на сейфе разных замков и как распределить ключи от них, чтобы никакой член этой комиссии не мог один открыть сейф, но любые два члена комиссии могли это сделать?
Решение. Нужно добиться, чтобы ни один человек не мог сам открыть сейф, но любой подошедший к нему второй человек мог бы помочь ему это сделать. Для этого требуется, чтобы каждый не мог открыть одного замка, который открывает каждый из двух его товарищей. Не дадим первому ключа от одного замка, второму – ключа от другого замка, третьему – ключа еще от одного замка. Тогда хватит трех замков. (Полезно устроить инсценировку с ключами, нарисовав сейф и замки на доске.)
Ответ: 3 замка, причем:
1-й человек не имеет ключа от замка № 1, но имеет ключи от замков № 2 и № 3;
2-й человек не имеет ключа от замка № 2, но имеет ключи от замков № 1 и № 3;
3-й человек не имеет ключа от замка № 3, но имеет ключи от замков № 1 и № 2.
35. В левом нижнем углу шахматной доски 8 x 8 стоит король. Два игрока по очереди ходят им на одно поле вправо, вверх или вправо-вверх по диагонали. Побеждает тот, кто попадет королем в правый верхний угол доски. Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть?
Решение. Суть игры в том, чтобы ходить королем на выгодные поля и не ходить на невыгодные. Изучим с этой точки зрения шахматную доску.
Поле h8 – выгодное. Значит, поля g8, g7, h7 – невыгодные (если вы попадете своим ходом на одно из них, противник немедленно пойдет на h8). Значит, поля f8 и h6 – выгодные (если вы попадете своим ходом на одно из них, противник с них попадет только на невыгодное поле). Рассуждая таким образом, можно последовательно разметить всю доску, ставя + в выгодные поля и – – в невыгодные.
Ответ: Нужно начинать первым, ходить первым ходом на b2, а затем ходить на поля, отмеченные плюсами (это черные поля, стоящие в четных горизонталях и в четных вертикалях шахматной доски).
Отметим, что очень желательно организовать эту игру. Шахматы для этого иметь необязательно, а вот доску, разлинованную в клетку, иметь полезно. На такой доске мгновенно рисуется шахматная доска и отмечаются точками положения короля после каждого хода.
36. Известно, что a – b = 9. Чему равно (а + 7) – b?
Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.
Ответ: 16.
37. Доктор Айболит должен попасть к больному Бегемоту. Сколько существует кратчайших путей из точки А в точку Б на этом рисунке?
Решение. В точку К Айболит может попасть тремя способами, а значит, он может прибыть к Бегемоту через точку К тремя способами. Через точку М он может прибыть к Бегемоту шестью способами. Итог: из А в Б ведут девять путей.
Ответ: 9.
38. Трое соревновались, кто из них самый сообразительный. Они обратились за решением спора к мудрецу. Тот показал им пять колпаков: три белых и два черных. Он завязал им глаза и надел на каждого по белому колпаку, а черные колпаки спрятал. Затем он развязал им глаза и сказал: "Кто из вас первым догадается, какого цвета на нем колпак, тот самый сообразительный". Как можно об этом догадаться, видя белые колпаки на других, но не видя своего колпака?
Решение. Можно рассуждать так. Я вижу два белых колпака. На мне может быть белый или черный. Если бы на мне был черный колпак, то второй человек видел бы один белый колпак и один черный. Он думал бы, что если на нем черный колпак, то третий должен сразу сказать, что на нем белый: ведь черных колпаков всего два. Но третий не говорит, что на нем белый колпак, значит, думал бы второй, на мне белый. Но поскольку второй молчит, то он не видит на мне черного колпака. Значит, на мне белый.
Ответ: Потому что другие молчат.
39. Если Андреев даст Петрову 300 рублей, то у них будет поровну. На сколько у Андреева денег больше, чем у Петрова?
Ответ: На 600 рублей.
40. Известно, что a – b = 11. Чему равно а – (b + 5)?
Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.
Ответ: 6.
41. Турнир по волейболу проводится по необычным правилам. Команда А считается превосходящей команду В в двух случаях: если она победила команду В в личной встрече или если она победила команду С, победившую команду В (ничьих в волейболе не бывает). Чемпионом объявляется команда, превосходящая все другие команды. Докажите, что в этом турнире могут оказаться три чемпиона.
Решение. Представим себе, что в таком турнире три команды обыграли всех остальных, а между собой сыграли так: первая обыграла вторую, вторая обыграла третью, а третья обыграла первую. Тогда каждая из них превосходит все остальные команды. Например, вторая превосходит третью, так как обыграла ее, вторая превосходит первую, так как обыграла третью, которая обыграла первую, вторая превосходит все остальные команды, так как обыграла их.
42. Переложи одну спичку, чтобы равенство стало верным:
Ответ:
43. В понедельник журналист получил гонорар за статью. Во вторник он истратил половину этого гонорара, а в среду получил еще 2000 рублей за другую статью, после чего у него осталось еще 4000 руб. Каков был гонорар за первую статью?
Решение. Остановимся здесь на алгебраическом решении. Будем создавать уравнение по этапам:
=
= 4000
(первый гонорар) – (половина первого гонорара) + (второй гонорар) = 4000
(первый гонорар) – (половина первого гонорара) + 2000 = 4000
х – половина первого гонорара
2 х – первый гонорар
2 х – х + 2000 = 4000
Ответ: 4000 рублей.
44. Сколькими взвешиваниями на чашечных весах без гирь можно найти одну (более тяжелую) монету из 60 монет?
Решение. Четырьмя, так как число монет больше 27, но не больше 81.
45. Разгадай ребус:
Решение. Сразу видно, что последняя цифра третьей строки – 4 и что средняя цифра второй строки – 0:
Первый множитель оканчивается либо цифрой 1, либо цифрой 6, так как умножение ее на 4 дает 4 на конце. Но умножение первого множителя на 5 дает число с нулем на конце. Поэтому первый множитель оканчивается на 6.
Ответ: 236 x 504 = 118944.
46. Сколько существует трехзначных чисел с цифрами от 1 до 5?
Решение. На первое место можно поставить любую из пяти цифр. На второе – тоже любую из пяти цифр. Значит, первые два места можно заполнить 5 x 5 = 25 способами. В любом из этих случаев можно на третье место поставить любую из пяти цифр. Поэтому всего таких чисел 25 x 5 = 125 чисел.
Ответ: 125.
Заметим, что если эта задача учащимся трудна, можно заменить в ней данные, дав задачу в такой, например, редакции: сколько существует трехзначных чисел с цифрами от 1 до 3? Тогда ответ – 27, и все числа можно выписать: 111, 112, 113, 121, 122, 123 и т. д.
47. Этими кубиками написано число 7. Какие числа надо написать на гранях двух кубиков, чтобы получился календарь, то есть чтобы можно было писать кубиками все числа от 01 до 31?
Решение. Цифру 1 надо иметь на обоих кубиках, чтобы писать 11. Точно так же нужно иметь на обоих кубиках 2, чтобы писать 22. На обоих кубиках нужен и нуль, чтобы писать 01, 02, …, 09. Остается из 12 граней двух кубиков свободных 6 граней, на которых надо разместить 7 цифр: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Задача кажется неразрешимой. Однако нам не нужна девятка: ее заменяет перевернутая шестерка.
Ответ: На одном кубике надо написать 0, 1, 2, 3, 4 и 5, на другом 0, 1, 2, 6, 7 и 8.
48. В левом нижнем углу шахматной доски 6 x 7 стоит ферзь. Два игрока по очереди ходят им на любое число полей вправо, вверх или вправо-вверх по диагонали.
Побеждает тот, кто попадет ферзем в правый верхний угол доски. Тебе разрешается начать игру или предоставить партнеру право первого хода. Как ты будешь играть?
Решение. Суть игры в том, чтобы ходить ферзем на выгодные поля и не ходить на невыгодные. Изучим с этой точки зрения нашу доску.
Поле f7 – выгодное. Значит, поля, отмеченные знаком – на рисунке, – невыгодные (если мы попадем своим ходом на одно из них, противник немедленно пойдет на f7). Значит, поля d6 и e5 – выгодные (если мы попадем своим ходом на одно из них, противник с него попадет только на невыгодное поле). Рассуждая таким образом, можно последовательно разметить всю доску, ставя + в выгодные поля и – – в невыгодные.
Ответ: Нужно начинать первым, ходить первым ходом на а4, а затем при любом ходе противника ходить на d6 или на е5, или сразу на f7.
49. Продолжи последовательность: 10, 200, 3000, ….
Решение. Каждый следующий член получается из предыдущего увеличением на 1 начальной части предыдущего члена (получающейся отбрасыванием стольких нулей на конце, каков номер члена), а также увеличением на единицу числа нулей.
Ответ: 10, 200, 3000, 40000, 500000, ….
50. Если считать этаж, на котором живет Катя, сверху, то получится вшестеро больше, чем если считать снизу. На каком этаже живет Катя, если в ее доме больше 10 и меньше 20 этажей?
Решение. Так как в доме меньше 20 этажей, то сверху можно насчитать либо 6, либо 12, либо 18 этажей (ведь это число делится на 6). Если сверху насчитывается 6 этажей, то снизу 1 этаж, и этажей в доме меньше 10, что противоречит условию. Если сверху 12 этажей, то снизу 2, то есть Катя живет на втором этаже, а над ней еще 11 этажей, и вместе это больше 10 и меньше 20, что соответствует условию. Наконец, если сверху 18 этажей, то снизу 3 этажа, Катя живет на 3 этаже, а над ней еще 17 этажей, то есть всего в доме 20 этажей, что противоречит условию.
Ответ: На третьем.
51. Известно, что a – b = 29. Чему равно (а – 3) – b?
Решение. Надо попросить детей придумать задачу на эту тему.
Ответ: 26.
52. Эту фигуру нужно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды. С какой точки можно начать обводку?
Решение. Начинать можно из точки, в которой сходится нечетное число путей.
Ответ: С точки А или с точки В.
53. Два велосипедиста выехали навстречу друг другу из пунктов, находящихся друг от друга на расстоянии 20 км. Скорость каждого велосипедиста 10 км/час. Одновременно вместе с первым выбежала собака. Собака бегала между велосипедистами: добежав до второго, она возвращалась к первому, потом опять ко второму и так далее до тех пор, пока они не встретились. Сколько пробежала собака, если ее скорость равнялась 20 км/ч?
Решение. Иногда начинают высчитывать, сколько пробежала собака до второго велосипедиста, потом – сколько до первого и так далее. А все очень просто. Велосипедисты ехали до встречи ровно час, и столько же времени бегала собака со скоростью 20 км/ч.
Ответ: 20 км.
54. Докажи, что эту фигуру нельзя обвести карандашом, не отрывая его от бумаги и не проводя никакую линию дважды.
Решение. На фигуре больше двух точек, в которых сходится нечетное число путей. Поэтому нельзя начать обводку в одной из них и закончить в другой. Придется проходить через третью точку, что невозможно.
55. Сколько существует трехзначных чисел с неповторяющимися цифрами от 1 до 5?
Решение. На первое место можно поставить любую из пяти цифр. На второе – любую из оставшихся четырех цифр. Значит, первые два места можно заполнить 5 x 4 = 20 способами. В любом из этих случаев можно на третье место поставить любую из трех оставшихся цифр. Поэтому всего таких чисел 20 x 3 = 60 чисел.
Ответ: 60.
Заметим, что если эта задача учащимся трудна, можно заменить в ней данные, дав задачу в такой, например, редакции: сколько существует трехзначных чисел с неповторяющимися цифрами от 1 до 4? Тогда ответ – 24, и все числа можно выписать: 123, 124, 132, 134, 142, 143 и т.д.
56. Расшифруй фразу, зашифрованную шифром Юлия Цезаря, если известно, что буква Ё в ней шифруется, как Е: "пзмомбмамозю росвлю гг лг ащмбаможръ".
Решение. В этой фразе есть слово "гг". В русском языке таких слов, состоящих из одинаковых букв, нет. Однако если е и ё обозначаются одинаково, то "гг" может обозначать слово "ёё". Это и дает нам в руки отгадку: г расшифровывается как е, то есть расшифровка идет по правилу "прибавь два".
Ответ: "Скороговорка трудна, ее не выговорить".
57. В каком числе столько же цифр, сколько букв?
Решение. Нужно понять условие. Для этого нужно спросить,