Теорема Коши для односвязной области




Если функция является аналитической в замкнутой односвязной области D , то интеграл от нее по любому замкнутому контуру, расположенному в области D, равен нулю: .

Доказательство:

Пусть функция аналитическая в области D. Тогда для нее выполняютcя условия Коши-Римана (1.19)

 

(1.25)

Вспомним условие равенства нулю криволинейного интеграла второго рода по любому замкнутому контуру

, (1.26)

 

тогда первое условие (1.19) обращает в ноль второй интеграл в правой части равенства (1.25), а второе условие (1.19) – первый. Что и требовалось доказать.

Можно доказать, что для аналитической функции интеграл по контуру зависит только от начальной и конечной точек интегрирования. Более того, для аналитической функции имеет место формула Ньютона-Лейбница

, (1.27)

где - первообразная аналитической функции .

Пример 1.23

Вычислить интеграл .

Решение

Подынтегральная функция является аналитической. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница (1.27), получим

.

 

Задачи для самостоятельного решения

  Задания Ответы
, найти
, найти
, найти
Найти
Найти
Какая линия описывается уравнением ? Окружность с центром в начале координат и радиусом 2
Найти
Вычислить
Вычислить
Решить уравнение
Какие из функций являются аналитическими а) ; б) ; в) ? Только в)
Решить уравнение

 

 

Глава 2

Элементы операционного исчисления

Оригиналы и изображения. Преобразование Лапласа.

Функцией-оригиналом называется функция , удовлетворяющая следующим трем условиям:

1. – непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода на каждом конечном интервале.

2. Существуют такие числа М и , что .

Это неравенство означает, что может расти не быстрее экспоненциальной функции . Например, – не является оригиналом.

3. , для всех .

Первые два условия часто выполняются в практических задачах. Чтобы выполнялось третье условие, используется функция

(2.1)

которая называется функцией Хевисайда.

Все функции-оригиналы в операционном исчислении считаются умноженными на множитель Хевисайда . Однако этот множитель, как правило, не записывается, а только подразумевается.

Функция называется изображением функции , если они связаны соотношением

(2.2)

Правая часть (2.2) – преобразование Лапласа для функции , а сам интеграл называется интегралом Лапласа; p – комплексный параметр. Тот факт, что является изображением функции , символически записывается в виде или = , L – оператор Лапласа:

.

Пример 2.1

Найдем изображение 1 или функции Хевисайда , определенной равенством (2.1).

или .

.

Таким образом, получили изображение функции Хевисайда или изображение единицы:

(2.3)

 

Пример 2.2

Найдем изображение функции .

.

 

. (2.4)

 

Свойство линейности

Пусть и , тогда

(2.5)

 

Это свойство является следствием линейности оператора Лапласа, т.е. следствием линейности определенного интеграла.

 

Пример 2.3

.

Таким образом,

 

(2.6)

 

Аналогично можно получить изображение

(2.7)

 

Задание.

Найти изображения функций: 1) , 2) .

Ответы: 1) ; 2) .

 

Свойство подобия

Пусть , тогда

, (2.8)

 

Доказательство.

 

=

=

Пример 2.4

Используя формулы (2.6) и (2.8) Найдем изображение функции .

.

Таким образом,

(2.9)

 





©2015-2017 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.

Обратная связь

ТОП 5 активных страниц!