Теорема Коши для односвязной области

Если функция является аналитической в замкнутой односвязной области D, то интеграл от нее по любому замкнутому контуру, расположенному в области D, равен нулю: .

Доказательство:

Пусть функция аналитическая в области D. Тогда для нее выполняютcя условия Коши-Римана (1.19)

(1.25)

Вспомним условие равенства нулю криволинейного интеграла второго рода по любому замкнутому контуру

(1.26)

тогда первое условие (1.19) обращает в ноль второй интеграл в правой части равенства (1.25), а второе условие (1.19) – первый. Что и требовалось доказать.

Можно доказать, что для аналитической функции интеграл по контуру зависит только от начальной и конечной точек интегрирования. Более того, для аналитической функции имеет место формула Ньютона-Лейбница

(1.27)

где - первообразная аналитической функции .

Пример 1.23

Вычислить интеграл .

Решение

Подынтегральная функция является аналитической. Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница (1.27), получим

Задачи для самостоятельного решения

	Задания	Ответы
	, найти
	, найти
	, найти
	Найти
	Найти
	Какая линия описывается уравнением ?	Окружность с центром в начале координат и радиусом 2
	Найти
	Вычислить
	Вычислить
	Решить уравнение
	Какие из функций являются аналитическими а) ; б) ; в) ?	Только в)
	Решить уравнение

Глава 2

Элементы операционного исчисления

Оригиналы и изображения. Преобразование Лапласа.

Функцией-оригиналом называется функция , удовлетворяющая следующим трем условиям:

1. – непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода на каждом конечном интервале.

2. Существуют такие числа М и , что .

Это неравенство означает, что может расти не быстрее экспоненциальной функции . Например, – не является оригиналом.

3. , для всех .

Первые два условия часто выполняются в практических задачах. Чтобы выполнялось третье условие, используется функция

(2.1)

которая называется функцией Хевисайда.

Все функции-оригиналы в операционном исчислении считаются умноженными на множитель Хевисайда . Однако этот множитель, как правило, не записывается, а только подразумевается.

Функция называется изображением функции , если они связаны соотношением

(2.2)

Правая часть (2.2) – преобразование Лапласа для функции , а сам интеграл называется интегралом Лапласа; p – комплексный параметр. Тот факт, что является изображением функции , символически записывается в виде или = , L – оператор Лапласа: