Теор вопросов, будет сформировано 20 билетов.

Весенний семестр 2017. Группы 446-1, 446-2.

1. Доказать с помощью интегрирования по частям: = .

2. Доказать с помощью интегрирования по частям формулу

для интегралов вида .

3. Доказать, что замена , где r = НОК (r₁,...,r_k) сводит интеграл к интегралу от рациональной дроби.

4. Доказать, что замена замена сводит интеграл вида к интегралу от рациональной дроби.

5. Вывести формулы преобразования синуса и косинуса для универсальной тригонометрической замены . Указание: по формулам двойного угла.

6. Доказать, что в случае, когда функция нечётна относительно косинуса, замена сводит интеграл к рациональной дроби.

7. Доказать, что в случае, когда замена: сводит интеграл к рациональной дроби.

8. Доказать, что для замена своит интеграл к рациональной дроби.

9. Доказать, что для замена своит интеграл к рациональной дроби.

10. Доказать, что для замена сводит интеграл к рациональной дроби.

11. Доказать, что функция является первообразной от функции .

12. Доказать формулу Ньютона- Лейбница: .

13. Доказать формулу длины явно заданной кривой: .

14. Доказать формулу длины кривой, заданной в полярных координатах

15. Докажите теорему: сходится , сходится .

16. Вывести (доказать) формулу площади явно заданной поверхности .

17. Вывод формул перехода к цилиндрическим координатам .

18. Доказать,что определитель Якоби цилиндрических координат .

19. Вывод формул перехода к сферическим координатам: .

20. Доказать,что определитель Якоби сферических координат: .

21. Доказать, что замена сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

22. Доказать, что замена сводит уравнение Бернулли к линейному уравнению.

23. Доказать, что замена понижает на единицу порядок уравнения .

24. Доказать теорему: Функция является решением линейного однородного дифференциального уравнения есть характеристический корень.

25. Доказать теорему о наложении решений: Если - решение линейного неоднородного дифф.уравнения с правой частью , а - решение такого же дифф.уравнения, но с правой частью , то сумма является решением уравнения с правой частью .

26. Доказать теорему о том, что система функций линейно-зависима .

27. Доказать теорему о том, что существует n линейно-независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n.

28. Доказать, что если 0 является корнем кратности , то система решений, соответствующих этому корню, имеет вид .

29. Доказать формулу Муавра для степени n .

30. Доказать формулу корня порядка n комплексного числа .

31. Доказать расходимость гармонического ряда

32. Доказать интегральный признак Коши сходимости числовых рядов.

33. Доказать признак Даламбера сходимости числовых рядов в конечной форме.

34. Доказать радикальный признак Коши сходимости числовых рядов в конечной форме.

35. Доказать теорему Абеля. 1) Если ряд сходится в точке , то он сходится в любой точке , для которой , причём абсолютно. 2) Если ряд расходится в точке то он расходится в любой точке, для которой .