Тема 18. Дифференциальные уравнения высшего порядка




Дифференциальным уравнением n-го порядка, называется уравнение вида

(1)

Если уравнение (22.43) можно разрешить относительно старшей производной, то дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид:

(2)

Решением дифференциального уравнения n -го порядка является всякая n раз дифференцируемая функция которая обращает данное уравнение в тождество. Задача нахождения решения удовлетворяющего начальным условиям

где – заданные числа, называется задачей Коши.

Общим решением уравнения (1) называется функция

(3)

где – произвольные постоянные.

Типы уравнений, допускающие понижение порядка:

1. Уравнение вида (4)

или разрешенное относительно n -йпроизводной

(5)

решается последовательным интегрированием n раз.

2. Уравнение вида (6)

не содержащее явно искомой функции y и первых () - х ее производных, решают с помощью замены где Таким образом, порядок исходного уравнения (6) понижается на k единиц.

Приходят к уравнению

Полученное уравнение решают далее в зависимости от его типа.

3. Уравнение вида (7)

не содержащее явно независимой переменной x, решают с помощью замены

где

Этой заменой порядок исходного уравнения понижается на единицу, поскольку (функцию z (y) дифференцировали по x как сложную). Аналогично выражают и т. д.

Уравнение вида (8)

называется однородным относительно искомой функции y и ее производных если функция F однородна относительно т. е.

где m – степень однородности,

– произвольное число.

Для решения используется замена где понижающая порядок исходного уравнения на единицу.

 

Пример 1. Найти общее решение уравнения:

1) 2)

3) 4)

Решение. 1) Заданное уравнение имеет 3-й порядок. Это дифференциальное уравнение типа (5). Проинтегрируем последовательно три раза:

– произвольные постоянные. Полученная функция и есть общее решение исходного уравнения.

2) Это уравнение 2-го порядка, не содержащее явно искомой функции y, т. е. типа (6). Делаем замену где Дифференцируем замену еще раз, получаем Подставляем выражения и в исходное уравнение:

(9)

Получили уравнение с разделяющимися переменными:

В результате интегрирования имеем: откуда – общее решение уравнения (9).

Возвращаемся к старым переменным:

– уравнение первого порядка. Интегрируем его:

Получаем – общее решение исходного уравнения.

3) Это уравнение 2-го порядка, не содержащее явно независимой переменной x, т. е. типа (7). Делаем замену где Дифференцируем замену по x как сложную функцию, получаем: Подставляем выражения для и в исходное уравнение:

(10)

Уравнение (10) – это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

или

Далее интегрируя, имеем:

откуда

– общее решение уравнения (10).

Возвращаемся к старым переменным, получаем – уравнение с разделяющимися переменными. Тогда

или

Интегрируем:

или – общее решение исходного дифференциального уравнения.

4) Это уравнение 2-го порядка, однородное относительно и так как

где – произвольное число.

Это уравнение типа (8). Делаем замену где отсюда получаем:

(11)

Дифференцируем это равенство еще раз:

С учетом (11) получаем:

Подставляем выражения для и в исходное уравнение:

Делим его на

После упрощения имеем уравнение

Делим его почленно на

(12)

Получили линейное уравнение 1-го порядка. Решаем его, например, методом Бернулли:

Тогда (12) примет вид:

т. е.

Полагаем откуда

Интегрирование приводит к равенству

Тогда имеем:

– искомая функция v.

Далее имеем:

т. е. что означает

Отсюда

Возвращаемся к старым переменным:

или

Интегрируем:

используя свойства логарифма, получаем:

или

Таким образом, – общее решение исходного уравнения.

 

Пример 2. Найти частное решение уравнения:

1)

2)

3)

Решение. 1) Заданное уравнение имеет 2-й порядок. Делаем замену Тогда и заданное уравнение принимает вид:

Получили дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными. Решаем его:

или

Возвращаясь к старой переменной, получим:

Определим константу из начального условия Тогда или Таким образом, Интегрируем и получаем:

Определяем из 2-го начального условия: т. е.

Частным решением исходного дифференциального уравнения является функция

2) Это уравнение 2-го порядка, не содержащее явно переменную x. Делаем замену Тогда и заданное уравнение примет вид Получили уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными. Интегрируем его:

имеем: или

Возвращаемся к старой переменной:

Определяем используя 2-е начальное условие: отсюда

Получаем – уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными. Его решение: или

Определяем константу используя первое начальное условие: откуда

Тогда частным решением заданного уравнения является функция

3) Это дифференциальное уравнение 4-го порядка типа (22.47). Проинтегрируем его последовательно четыре раза:

Определим константу из начального условия Тогда или

Интегрируем еще раз:

Определяем из начального условия

или

Интегрируем далее:

Из начального условия находим или

Интегрируем в 4-й раз:

Находим константу из начального условия

или

Тогда частным решением заданного дифференциального уравнения является функция

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:

1. Как определяется дифференциальное уравнение n-го порядка?

2. Как решается уравнение вида ?

3. Как решается уравнение вида ?

4. Как решается уравнение вида ?

5. Какое уравнение называется однородным?

 

Домашнее задание: [1], ч.4, §22.5, №1.1, 2.1



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-10-25 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: