Дифференциальным уравнением n-го порядка, называется уравнение вида
(1)
Если уравнение (22.43) можно разрешить относительно старшей производной, то дифференциальное уравнение n -го порядка имеет вид:
(2)
Решением дифференциального уравнения n -го порядка является всякая n раз дифференцируемая функция которая обращает данное уравнение в тождество. Задача нахождения решения удовлетворяющего начальным условиям
где – заданные числа, называется задачей Коши.
Общим решением уравнения (1) называется функция
(3)
где – произвольные постоянные.
Типы уравнений, допускающие понижение порядка:
1. Уравнение вида (4)
или разрешенное относительно n -йпроизводной
(5)
решается последовательным интегрированием n раз.
2. Уравнение вида (6)
не содержащее явно искомой функции y и первых () - х ее производных, решают с помощью замены где Таким образом, порядок исходного уравнения (6) понижается на k единиц.
Приходят к уравнению
Полученное уравнение решают далее в зависимости от его типа.
3. Уравнение вида (7)
не содержащее явно независимой переменной x, решают с помощью замены
где
Этой заменой порядок исходного уравнения понижается на единицу, поскольку (функцию z (y) дифференцировали по x как сложную). Аналогично выражают и т. д.
Уравнение вида (8)
называется однородным относительно искомой функции y и ее производных если функция F однородна относительно т. е.
где m – степень однородности,
– произвольное число.
Для решения используется замена где понижающая порядок исходного уравнения на единицу.
Пример 1. Найти общее решение уравнения:
1) 2)
3) 4)
Решение. 1) Заданное уравнение имеет 3-й порядок. Это дифференциальное уравнение типа (5). Проинтегрируем последовательно три раза:
– произвольные постоянные. Полученная функция и есть общее решение исходного уравнения.
2) Это уравнение 2-го порядка, не содержащее явно искомой функции y, т. е. типа (6). Делаем замену где Дифференцируем замену еще раз, получаем Подставляем выражения и в исходное уравнение:
(9)
Получили уравнение с разделяющимися переменными:
В результате интегрирования имеем: откуда – общее решение уравнения (9).
Возвращаемся к старым переменным:
– уравнение первого порядка. Интегрируем его:
Получаем – общее решение исходного уравнения.
3) Это уравнение 2-го порядка, не содержащее явно независимой переменной x, т. е. типа (7). Делаем замену где Дифференцируем замену по x как сложную функцию, получаем: Подставляем выражения для и в исходное уравнение:
(10)
Уравнение (10) – это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:
или
Далее интегрируя, имеем:
откуда
– общее решение уравнения (10).
Возвращаемся к старым переменным, получаем – уравнение с разделяющимися переменными. Тогда
или
Интегрируем:
или – общее решение исходного дифференциального уравнения.
4) Это уравнение 2-го порядка, однородное относительно и так как
где – произвольное число.
Это уравнение типа (8). Делаем замену где отсюда получаем:
(11)
Дифференцируем это равенство еще раз:
С учетом (11) получаем:
Подставляем выражения для и в исходное уравнение:
Делим его на
После упрощения имеем уравнение
Делим его почленно на
(12)
Получили линейное уравнение 1-го порядка. Решаем его, например, методом Бернулли:
Тогда (12) примет вид:
т. е.
Полагаем откуда
Интегрирование приводит к равенству
Тогда имеем:
– искомая функция v.
Далее имеем:
т. е. что означает
Отсюда
Возвращаемся к старым переменным:
или
Интегрируем:
используя свойства логарифма, получаем:
или
Таким образом, – общее решение исходного уравнения.
Пример 2. Найти частное решение уравнения:
1)
2)
3)
Решение. 1) Заданное уравнение имеет 2-й порядок. Делаем замену Тогда и заданное уравнение принимает вид:
Получили дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными. Решаем его:
или
Возвращаясь к старой переменной, получим:
Определим константу из начального условия Тогда или Таким образом, Интегрируем и получаем:
Определяем из 2-го начального условия: т. е.
Частным решением исходного дифференциального уравнения является функция
2) Это уравнение 2-го порядка, не содержащее явно переменную x. Делаем замену Тогда и заданное уравнение примет вид Получили уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными. Интегрируем его:
имеем: или
Возвращаемся к старой переменной:
Определяем используя 2-е начальное условие: отсюда
Получаем – уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными. Его решение: или
Определяем константу используя первое начальное условие: откуда
Тогда частным решением заданного уравнения является функция
3) Это дифференциальное уравнение 4-го порядка типа (22.47). Проинтегрируем его последовательно четыре раза:
Определим константу из начального условия Тогда или
Интегрируем еще раз:
Определяем из начального условия
или
Интегрируем далее:
Из начального условия находим или
Интегрируем в 4-й раз:
Находим константу из начального условия
или
Тогда частным решением заданного дифференциального уравнения является функция
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ:
1. Как определяется дифференциальное уравнение n-го порядка?
2. Как решается уравнение вида ?
3. Как решается уравнение вида ?
4. Как решается уравнение вида ?
5. Какое уравнение называется однородным?
Домашнее задание: [1], ч.4, §22.5, №1.1, 2.1