Тема 17. Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение вида

(1)

называют однородным, если обе функции и являются однородными функциями одной и той же степени n, т. е. для параметра t выполняются:

Однородное уравнение может быть сведено к виду

(2)

где – некоторое выражение относительно

Для решения однородного уравнения его сводят вначале к виду (2), а затем заменяют где Этой заменой дифференциальное уравнение (2) приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Иногда целесообразнее сделать замену где

Дифференциальное уравнение вида

(3)

при определенных значениях сводится к однородному уравнению. Рассмотрим три возможных случая коэффициентов:

1. Если то делают замену переменных:

(4)

где числа и находят как решение системы уравнений

(5)

Этой заменой дифференциальное уравнение (3) сводится к уравнению

Далее его решают как однородное.

2. Если то уравнение (3) записывают в виде

и затем заменяют где Эта замена приводит к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

3. Если то имеем

т. е. Далее интегрируют.

Пример 1. Решить уравнение:

1) 2)

Решение. 1) Так как

то и – однородные функции первой степени.

Делаем замену. Очевидно, что делением на уравнение сводится к виду т. е. или Заменяем где откуда и Подставляя в исходное дифференциальное уравнение, получаем: т. е.

Разделяем переменные (при условии ): Интегрируем: или Отсюда

Возвращаемся к старым переменным, подставляем вместо z выражение Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения имеет вид:

Рассмотрим отдельно возможные решения и которые мы исключали. В последнем случае имеем т. е. Подставляем и в заданное дифференциальное уравнение и убеждаемся, что они также являются его решениями. При этом решение содержится в формуле общего интеграла при Решение не содержится в полученной формуле общего интеграла. Поэтому окончательное решение:

2) Разделив дифференциальное уравнение на x получаем: – это однородное дифференциальное уравнение. После замены где имеем

Далее приводим подобные и разделяем переменные, считая т. е. Получаем Интегрируем и получаем

Возвращаемся к старым переменным, получаем общее решение:

Анализируем, являются ли решениями и т. е. Подставляем в заданное дифференциальное уравнение и убеждаемся, что не является решением заданного дифференциального уравнения, а являются решениями, которые не входят в полученное общее решение. Приходим к решению исходного дифференциального уравнения:

3) Запишем заданное уравнение в виде

Делим его на y

(6)

Делаем замену где т. е. и После подстановки в уравнение (22.12) получаем:

т. е.

После упрощения имеем

Делим переменные:

Интегрирование дает:

или

Возвращаемся к старым переменным, используя Тогда общий интеграл имеет вид:

Пример 2. Решить задачу Коши:

Решение. 1) Это однородное уравнение. Разделив заданное уравнение на получаем:

Делаем замену где

или, приведя подобные,

Разделяем переменные:

Интегрируем последнее уравнение:

т. е., используя свойства логарифма, имеем

Возвращаясь к старым переменным, получаем: – общий интеграл исходного уравнения.

Подставляем в него начальные условия и находим С:

или

Значит, решением задачи Коши является

2) Это уравнение однородное. Разделив его на x получаем:

Делаем замену где

Приводим подобные:

или

Разделяем переменные, считая

(7)

Далее интегрируем уравнение (7) и получаем:

Используем свойства логарифма и получаем:

Возвращаемся к старым переменным:

или

Отсюда получаем:

– общий интеграл заданного уравнения. Подставив в него начальные условия: получим

Решение задачи Коши:

Пример 3. Найти решение дифференциального уравнения:

1) 2) 3)

Решение. 1) Это уравнение не является однородным, но сводится к однородному дифференциальному уравнению. Так как т. е. сделаем замену переменных по формуле (4):