Основными числовыми характеристиками случайной величины X являются математическое ожидание , дисперсия D (X), среднее квадратическое отклонение .
Математическое ожидание случайной величины – это среднее значение случайной величины, взвешенное по вероятностям.
Для дискретной случайной величины математическое ожидание вычисляется по формуле:
, так как ,то есть .
Для непрерывной случайной величины:
.
Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, то есть
D (X)= .
Преобразуем это выражение, используя свойства математического ожидания, получим D (X) = , то есть дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата случайной величины без квадрата ее математического ожидания. Итак:
D (X) = – для дискретной случайной величины;
D (X) = – для непрерывной случайной величины;
D (X) = – для любой случайной величины.
Средним квадратическим отклонением случайной величины называют арифметическое значение квадратного корня из ее дисперсии, то есть
.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение характеризуют вариацию (колеблемость) значений случайной величины около ее среднего значения. Так, показывает, на сколько в среднем отклоняются значения случайной величины от ее математического ожидания.
Обобщением основных числовых характеристик случайной величины является понятие моментов случайной величины.
Начальным моментом k-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины : .
Начальный момент дискретной случайной величины: .
Начальный момент непрерывной случайной величины: .
Центральным моментом k-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины : .
Центральный момент дискретной случайной величины: .
Центральный момент непрерывной случайной вел-ны: .
Начальный момент первого порядка представляет собой математическое ожидание, а центральный момент второго порядка – дисперсию случайной величины.
Нормированный центральный момент третьего порядка служит характеристикой «скошенности» или асимметрии распределения (коэффициент асимметрии):
.
Нормированный центральный момент четвертого порядка служит характеристикой «островершинности» или «плосковершинности» распределения (коэффициент эксцесса):
.
Величины А и Е характеризуют степень отличия функции распределения от функции распределения стандартного нормального распределения, для которого коэффициенты асимметрии и эксцесса равны нулю: . Левосторонняя асимметрия: , правосторонняя асимметрия: . Если , то кривая плотности распределения имеет более плоскую вершину, чем кривая плотности нормального распределения.
Введем понятие различных операций над случайными величинами.
Пусть имеются две случайные величины X и Y, заданные следующими законами распределения:
xi | x 1 | x 2 | … | xi | … | xn | yj | y 1 | y 2 | … | yj | … | yk | ||
pi | p 1 | p 2 | … | рi | … | pn | ; | p’j | p’ 1 | p’ 2 | … | р’j | … | p’k | ; |
причем
Случайной величиной называют такую случайную величину, возможные значения которой равны - й степени значений случайной величины X, а соответствующие вероятности не изменяются. Закон распределения случайной величины Z будет иметь вид:
… | … | ||||||
pi | p 1 | p 2 | … | рi | … | pn | , |
Суммой (разностью, произведением) случайных величин X и Y называют случайную величину Z, возможные значения которой равны соответственно сумме (разности, произведению) каждого значения случайной величины X с каждым значением случайной величины Y, а соответствующие вероятности перемножаются.
Например, закон распределения случайной величины Z = X + Y имеет вид:
zi | … | … | … | |||||||
… | … | … | ; |
причем
Пример 1. Случайная величина X имеет распределение:
xi | ||||||
pi | 0,1 | 0,3 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | . |
Найти характеристики случайной величины.
Решение. Воспользуемся формулами для дискретной случайной величины.
Дисперсию случайной величины можно рассчитать и по формуле:
D (X) = .
D (X) = 4,9 – (1,9)2 = 4,9 – 3,61 = 1,29.
Среднее квадратическое отклонение характеризует колеблемость значений случайной величины около математического ожидания. » 1,14 означает, что каждое значение данной случайной величины отклоняется от математического ожидания (от среднего значения) в среднем на 1,14.
Пример 2. Случайная величина X задана следующим распределением:
Найти характеристики случайной величины.
Решение. Воспользуемся формулами для непрерывной случайной величины.
= (16 – 1024/45 + 2048/225 – 32/3 + 1024/75–1024/225) = 44/225.
Проще вычислить дисперсию по формуле:
D (X) = .
D (X) = 4/3 – (16/15)2 = 44/225.
(каждое значение случайной величины отклоняется от математического ожидания в среднем на 0,44).
Пример 3. Случайные величины X и Y заданы следующими распределениями:
xi | yj | ||||||||||
pi | 0,1 | 0,5 | 0,2 | 0,2 | ; | p j | 0,6 | 0,4 | . |
Составить закон распределения случайной величины Z = X – Y.
На этом примере проверить справедливость свойства дисперсии разности двух независимых случайных величин.
Решение: 1) составим закон распределения случайной величины Z = X – Y.
zi | 1 – 0 | 1 – 1 | 2 – 0 | 2 – 1 | 3 – 0 | 3 – 1 | 5 – 0 | 5 – 1 | |
pi × pj | 0,06 | 0,04 | 0,30 | 0,20 | 0,12 | 0,08 | 0,12 | 0,08 | ; |
или:
zi | |||||||
0,04 | 0,26 | 0,38 | 0,12 | 0,08 | 0,12 | . |
2) найдем характеристики случайных величин X, Y, Z.
= 0,1 + 1 + 0,6 + 1 = 2,7.
0,1 + 2 + 1,8 + 5 = 8,9.
D (X) = = 8,9 – (2,7)2 = 1,61.
то есть
Отсюда .