Умножение матрицы на число.




Тема 5. Понятие матрицы. Операции над ними. Определители и их свойства

Матрицей называется система m×n чисел, расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов. Числа этой таблицы называются элементами матрицы. Обозначение матрицы:

 

, , .

 

Элементы аi1, аi2, …, аin составляют i-ую строку (i=1, 2,.., m), элементы а1k, а2k, …, аkmk –й столбец (k=1, 2, …, n), aik – элемент, принадлежащий i-ой строке и k –му столбцу матрицы, числа i, k называются индексами элемента. Строки и столбцы матрицы называют её рядами; под двумя параллельными рядами понимают две строки или два столбца матрицы. Матрицу, имеющую m строк и n столбцов, называют матрицей m´n. Употребляются и более краткие обозначения матрицы размеров m´n: . Матрицу обозначают так же одной заглавной буквой, например, А, В и т.д.

Две матрицы Аmn и Вpq называются равными, если p=m, q=n и aik=bik, другими словами, если они одинаковых размеров и их соответствующие элементы равны.

Матрица, состоящая из одной строки, называется строчной матрицей, или матрицей-строкой. Строчная матрица имеет вид .

Матрица, имеющая один лишь столбец, называется матрицей столбцом и имеет вид: .

Матрица, все элементы которой равны нулю называется нулевой матрицей, обозначается О и имеет вид: О= .

Квадратной матрицей называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов(m=n), т. Е. матрица вида: .

Порядком квадратной матрицы называется число ее строк(или столбцов).

Будем говорить, что элементы a11, a12, …, amn квадратной матрицы образуют ее главную диагональ, а элементы a1n, a2 n-1, …, an1вторую диагональ(побочную).

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю, т.е. матрица

 

D= .

Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице. Обозначим единичную матрицу буквой Е, тогда Е= .

Треугольной матрицей называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Различают соответственно верхнюю и нижнюю треугольную матрицы:

, .

 

Действия над матрицами

Сложение матриц.

Суммой матриц А и В одинаковой размерности m n называется матрица С той же размерности, каждый элемент которой равен сумме элементов матриц А и В, стоящих на тех же местах:

Свойства сложения:

1. А + В = В + А.

2. (А + В) + С = А + (В + С).

3. Если О – нулевая матрица, то А + О = О + А = А

Замечание 1. Справедливость этих свойств следует из определения операции сложения матриц.

Замечание 2. Отметим еще раз, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности.

 

Пример.

Решение

 

Умножение матрицы на число.

 

Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, что и исходная, все элементы которой равны элементам исходной матрицы, умноженным на данное число.

Свойства умножения матрицы на число:

1. (km)A=k(mA).

2. k(A + B) = kA + kB.

3. (k + m)A = kA + mA.

 

Замечание 1. Справедливость свойств следует из определений 3.4 и 3.5.

 

Замечание 2. Назовем разностью матриц А и В матрицу С, для которой С + В =А, т.е. С = А + (-1)В.

 

Пример.

. Тогда

 

Умножение матриц.

Выше было указано, что сложение матриц накладывает условия на размерности слагаемых. Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей сомножителей, а именно: число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго.

 

Произведением матрицы А размерности m p и матрицы В размерности называется матрица С размерности , каждый элемент которой определяется формулой: Таким образом, элемент представляет собой сумму произведений элементов i -й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В.

 

Пример. . При этом существует произведение АВ, но не существует произведение ВА. Размерность матрицы С=АВ составляет Найдем элементы матрицы С:

Итак,



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-10-25 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: