Пусть имеется некий товар, который (в простейшем случае) является единственным, удовлетворяющим некоторую потребность.
Общий потенциальный платежеспособный спрос на этот товар (при фиксированной цене) обозначим как N0. Таким образом N0 - общее число потенциальных покупателей данного товара, которые могут себе позволить его купить.
Введем понятие величины “плотность информационного охвата”, которая представляет собой вероятность того, что покупатель узнает о существовании товара за единицу времени. Обозначим эту величину - a.
Очевидно, что общее число покупателей, информированных о товаре, есть функция времени, которую можно обозначить как N(t). Исходя из приведенных выше определений, можно определить количество покупателей, которые узнают о существовании товара за период времени с момента t до момента t+Dt:
| DN(t)= a(N0 -N(t)) Dt | (1) |
Преобразуя (1) и переходя к пределу при Dt®0, получим дифференциальное уравнение
| N(t)+ 1/a N¢(t)=N0 | (2) |
Решение этого уравнения имеет вид:
| N(t)=N0(1 – e - at) | (3) |
Введем далее понятие величины “привлекательность товара”, которая представляет собой вероятность того, что покупатель, информированный о товаре, в течение единицы времени решится на его приобретение. Обозначим эту величину - b.
Общее число покупателей, приобретших товар к моменту времени t, обозначим как I(t). Тогда, используя определение величины “привлекательность товара”, можно записать число покупателей, приобретших товар за период времени с момента t до момента t+Dt:
| DI(t)= b (N(t) -I(t)) Dt | (4) |
Преобразуя (4) и переходя к пределу при Dt®0, получим дифференциальное уравнение
| I(t)+ 1/b I¢(t)=N(t) | (5) |
Используя выражение (3), перепишем дифференциальное уравнение (5) в виде:
| I(t)+ 1/b I¢(t)= N0 (1 – e - at) | (6) |
Решая уравнение (6) относительно I(t), получим:
| I(t)=N0(1+1/(a-b) (b e - at - a e -bt)) | (7) |
Очевидно, что функция I(t) не определена в случае, когда a=b. Для устранения этой неопределенности перейдем к пределу при b®a:
| lim b®a I(t) = N0 (1 – (at+1) e - at ) | (8) |
Таким образом, функция I(t) есть не что иное, как общее число продаж товара к моменту времени t. Для того, чтобы определить функцию зависимости скорости продаж от времени, которую можно обозначить как J(t), достаточно найти производную функции I(t) по времени:
| J(t) = N0 (ab/(a-b)) (-e - at + e -bt) | (9) |
Для случая b®a формула (9) перепишется в виде:
| J(t) = N0 a2t e - at | (10) |
Единственный расходуемый товар
Введем дополнительный параметр g - скорость расхода товара. Тогда формула (4) примет вид:
| DI(t)= [ b(N(t) - I(t)) - g I(t) ] Dt | (11) |
И, соответственно, вместо выражения (6) получим:
| I(t)+ 1/(b+g) I¢(t)= N0 b/(b+g) (1 – e - at) | (12) |
Решение уравнения (12) будет иметь вид:
| I(t)=N0 b/(b+g) (1+1/(a-b-g) ((b+g) e - at - a e -(b+g)t)) | (13) |
Выражение (9) примет вид:
| J(t) = N0 ab/(a-b-g) (-e - at + e -(b+g)t) | (14) |
Перейдем к пределу при (b+g) ®a. Тогда (13) и (14) примут, соответственно, вид:
| I(t) = N0 (a-g) /a (1 – (at+1) e - at ) | (15) |
| J(t) = N0 (a-g) at e - at | (16) |
Случай многих конкурирующих товаров
Пусть имеются m товаров, которые удовлетворяют некоторую потребность (или комплекс потребностей).
Общий потенциальный платежеспособный спрос на эти товары (при фиксированной цене) обозначим как N0. Таким образом N0 - общее число потенциальных покупателей данных товаров, которые могут себе позволить их купить.
Будем считать, что все потенциальные покупатели информированы обо всех товарах.
Обозначим bi – привлекательность i- го товара, которая представляет собой вероятность того, что покупатель в течение единицы времени решится на приобретение именно этого товара. Отметим, что сумма всех bi <=1, (т.е. åbi <=1).
Очевидно, что общее число покупателей, приобретших i -й товар, есть функция времени, которую можно обозначить как Ni(t). Исходя из приведенных выше определений, можно определить количество покупателей, которые узнают о существовании товара за период времени с момента t до момента t+Dt:
| DNi(t)= bi (N0 - åNk(t)) Dt | (17) |
Преобразуя (17) и переходя к пределу при Dt®0, получим дифференциальное уравнение
| N ¢i (t) + bi åNk(t)= bi N0 | (18) |
Решение этого уравнения имеет вид:
| Ni(t)= bi/b0 N0(1 – e - b0t),гдеb0= åbi | (19) |
Здесь можно усмотреть интересную аналогию между введенной величиной “привлекательность товара” и сравнительным рейтингом данного товара. Справедливо предположить, что эти величины совпадают с точностью до постоянного множителя.
Случай многих конкурирующих расходуемых товаров
Введем дополнительный параметр gi - скорость расхода i -го товара. Тогда формула (17) примет вид:
| DNi(t)= [ bi (N0 - åNk(t)) - gi Ni(t) ] Dt | (20) |
И, соответственно, вместо выражения (18) получим:
| N ¢i (t) + bi åNk(t) + gi Ni(t) = bi N0 | (21) |
Запишем систему дифференциальных уравнений в матричной форме. Тогда:
| N ¢(t) = N0 b - (A + E g) N(t) | (22) |
где: N(t) = { Ni(t) } – матрица-столбец,
b = { bi } – матрица-столбец,
А = { Aij } – квадратная матрица, коэффициенты которой Aij = bi,
g = { gi } – матрица-столбец,
Е = { Еij } – единичная матрица, коэффициенты которой Еij = dij
Решение этой системы (в матричной форме) будет иметь вид:
| N(t) = N0 (E - e -(A + E g)t) [(A + E g)-1 b] | (23) |
где матричная фукция e -(A + E g)t является матрицей размера m x m, определяемой в соответствии с разложением в ряд по стереням (A + E g). Следует отметить, что разложение этой экспоненты требует громоздкого перемножения матриц.
В качестве упрощенного варианта общего случая рассмотрим допущение g1=g2=...=gm=g. (Это имеет смысл, например, при рассмотрении различных видов колбасы – скорость “расходования” их можно считать одинаковой).
Тогда, используя суммирование по i всех уравнений системы (18), получаем новое уравнение:
| N¢0(t) + (b0 +g) N0(t) = bi N0 | (24) |
где N0(t) = åNk(t). Решением этого уравнения будет:
| N0(t)= b0/(b0+g) N0(1 – e - (b0+g)t) | (25) |
Само же уравнение (18) перепишется в виде:
| N ¢i (t) + gi Ni(t) = bi (N0 – N0(t)) | (26) |
решением которого будет:
| Ni(t)= bi/(b0+g) N0(1 – e - (b0+g)t) | (27) |
Заключение.
В конце концов у меня вот о чём. В формулах, получившихся в математической экономике, имеют любопытную экспонентную S-образную формулу, начиная с формулы (7). А ведь такая S-образная формула упоминается и в ТРИЗе, и в Общей теории систем алгоритмов, и в эволюции, и ещё бог знает где (возможно, в прогнозировании экономических катастроф?).
Если в данной конкретной ситуации арифметической экономики, например, этот конкретный тренд имеет рост. Следовательно, имелся бы смысл вкладывать финансы в развитие этого тренда. А в математической экономике, этому же вполне себе соответствует к первой производной этой самой S-образной формуле. Однако, кроме первой производной, можно бы было поинтересоваться и второй производной. И влияние этой второй производной могла бы как увеличение этого роста, так и уменьшение его, её инфляции, или, не дай бог, обрушение данной системы. А ведь эта экспонентная S-образная формула, например, вполне совпадает в физике с формулой полураспада, например, U235.
Лично мне исключительно тяжело продолжать развитие данную такую теорию. В лучшем случае, другие, уже умные и ещё здоровые, люди могли бы продолжить эту тему, а я бы, обрадовавшись, занялся бы физикой. В худшем - могли бы объяснить мне мои ошибки, а я бы это понял и, вздохнув, занялся бы физикой. А в самом худшем случае, какие бы креативные и продвинутые меня бы обругали и оплевали, или вообще бы никто просто не прочитал эту мою чушь. Тогда бы мне пришлось попытаться продолжить все дальше.
Как бы я сказал, либо мне повезёт - либо сам повезу. В смысле кое-как потащу.
С уважением,
Ёлочкин Сергей Владимирович
Россия, Тюмень, ecb@list.ru