Вопросы для самоподготовки.
1. Дискретная случайная величина, закон её распределения.
2. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
3. Непрерывная случайная величина, её характеристики.
Краткие теоретические сведения.
Случайной величиной - называют величину, которая в результате испытания может принимать с определённой вероятностью разные значения. Функция, ставящая в соответствие каждому значению случайной величины вероятность, с которой величина принимает это значение, называется законом распределения.
Пусть x – некоторая числовая случайная величина. Тогда функцию, ставящую в соответствие любому x 
(- 
)вероятность того, что значение случайной величины x меньше x:
F (x)=P (x<x),
Называют функцией распределения случайной величины x. Функцией распределения обладает следующими свойствами:
1) 0 
F(x) 1 для всех x (- )
2) 
F (x)=0, 
F (x)=1
3) P (x1 x x2)=F(x2) – F(x1)
Случайную величину называют дискретной, если множество её значений конечно либо счетно. Счетным - называют множество, содержащие бесконечное количество элементов, причём эти элементы можно занумеровать, т. е. Каждому элементу множества поставить в соответствие его порядковый номер.
Важнейшими характеристиками случайной величины являются её математическое ожидание M(x) и дисперсия Д(x).
Для дискретной случайной величины математическое ожидание и дисперсия вычисляются по следующим формулам:
M (x) = 
xipi, Д (x)=М (x2) – (М (x)) 2
Функция распределения непрерывной случайной величины выражается через плотность вероятности как:
F (x) = 
f (x) dx.
Плотность вероятности f(x) обладает следующими свойствами:
1) f (x) 
0 для всех x (- )
2) f (x) dx =1
3) P (a x b) = 
Для непрерывной случайной величины математическое ожидание и дисперсия вычисляются по формулам:
М(x) = 
, Д(x) = 
Квадратичное отклонение: δ = 
.
Решение типовых задач.
1. В планово – экономическом отделе предприятия имеется 4 компьютера. Вероятность работы одного компьютера без ремонта в течение месяца составляет 0.9. Пусть x- случайная величина, равная количеству компьютеров в отделе, проработавших в течение месяца без ремонта. Требуется найти закон распределения и функцию распределения случайной величины x, её математическое ожидание и дисперсию.
Решение:
Случайная величина x может принимать одно из пяти значений: 0,1,2,3,4, т.е. является дискретной случайной величиной. Вероятность появления каждого значения величины x вычислим по формуле Бернулли:
Pn(m) = 
Cmnpmqn-m
Так, например, вероятность того, что x =0, определится как:
P (x=0) = P4 (0) = C400.900.14 = 1*1*0.0001 = 0.0001.
Аналогичным образом вычисляем остальные вероятности, в результате чего получаем закон распределения случайной величины x:
| x | |||||
| p | 0.0001 | 0.0036 | 0.0486 | 0.2916 | 0.6561 |
Построим функцию распределения случайной величины x:
При x 0 F (x) =0;
При 0 < x 
1 F (x) = 0,0001;
При 1 < x 2 F (x) = 0.0001+0.0036 = 0,0037;
При 2 < x 3 F (x) = 0.0037 +0.0486 = 0,0523;
При 3 < x 4 F (x) = 0.0523+0.2916 = 0,3439;
При x > 4 F (x) = 0.3439 +0.6561 = 1.
Таким образом, функция распределения F(x) имеет вид:
 |
0 при x 0
0,0001 при 0 < x 1
F(x)= 0,0037 при 1 < x 2
0,0523 при 2 < x 3
0,3439 при 3 < x 4
1 при x > 4
Математическое ожидание M (x) определим по формуле M (x) = xipi. Имеем:
M (x) = 0*0.0001 +1*0.0036 + 2*0.0486 +3*0.2916 + 4* 0.6561 = 3.6
Для вычисления дисперсии найдем вначале M (x2):
M (x2) =02*0.0001 +12*0.0036 +22 *0.0486 +32 *0.2916 +42 *0.6561 =13.32.
Теперь вычислим дисперсию по формуле:
Д (x)=М (x2) – (М (x)) 2
Имеем
Д (x)=13.32 – 3.62 =0.36.
2. Непрерывная случайная величина x задана функцией плотности вероятности.
 |
0 при x<1
F (x) = 0.5 при 1 
x 3
0 при x>3
Найдите функцию распределения случайной величины x, её математическое ожидание и дисперсию.
Решение:
Функцию распределения случайной величины найдем по формуле:
F (x) = f (x) dx.= 
= 0.5 
=0.5x –0.5
Тогда
0 при x<1
F(x) = 0.5x-5 при 1 x 3
1 при x>3
Вычислим теперь математическое ожидание и дисперсию:
М(x) = = 
Д(x) = = 
Задания для самостоятельного решения
1. Вероятность попадания стрелком в цель с одного выстрела составляет 0.6. Пусть x – случайная величина, равная числу попаданий в цель с трех выстрелов. Найдите закон распределения этой случайной величины, а также её математическое ожидание и дисперсию.
В задачах 2,3 случайная величина x задана своим законом распределения. Найдите функцию распределения этой случайной величины, её математическое ожидание и дисперсию.
2.
| X | ||||
| P | 0.5 | 0.3 | 0.1 | 0.1 |
3.
| X | |||
| p | 0.3 | 0.3 | 0.4 |
4. Непрерывная случайная величина x задана своей функцией плотности вероятности. Найдите функцию распределения случайной величины x, её мате6матическое ожидание и дисперсию.
0 при x<10
a) f (x) = 1 при 10 x 11
0 при x>11
0 при x<0
б) f (x) = 3x2 при 0 x 1
0 при x>1
5. Дискретная случайная величина x имеет закон распределения:
| X | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 0.8 | |
| p | 0.15 | 0.2 | 0.3 | P4 | 0.15 |
Чему равна вероятность p4=p (x=0.6)? Ответ: p4 = 0.2
6. Дискретная случайная величина x имеет закон распределения:
| X | |||||
| p | P1 | 0.15 | 0.3 | 0.25 | P5 |
Найдите вероятность p1 =p (x=1) и p5 = p(x =5), если известно, что p5 в 2 раза больше p1
Ответ: p1 =0.1; p5 =0.2.