ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1) Определения двойного и тройного интегралов. Их геометрический и физический смысл.
2) Основные свойства двойных и тройных интегралов.
3) Теорема о среднем для двойного и тройного интегралов.
4) Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями (случай прямоугольной области).
5) Вычисление двойных интегралов двумя последовательными интегрированиями (общий случай).
6) Замена переменных в двойном интеграле.
7) Якобиан, его геометрический смысл.
8) Двойной интеграл в полярных координатах.
9) Тройной интеграл в цилиндрических координатах.
10) Тройной интеграл в сферических координатах.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ УПРАЖНЕНИЯ
1) Пользуясь определением двойного интеграла, доказать, что
,
если 
и 
— натуральные числа и, по меньшей мере, одно из них нечетно.
2) С помощью теоремы о среднем найти
,
где 
— непрерывная функция.
'3) Оценить интеграл
т. е. указать, между какими значениями заключена его величина.
4) Вычислить двойной интеграл 
, если область D — прямоугольник 
а 
5) Доказать равенство
если область D —прямоугольник 
6) Доказать формулу Дирихле.
7) Пользуясь формулой Дирихле, доказать равенство
8) Какой из интегралов больше
или 
если 
Задача 1. Изменить порядок интегрирования.
Задача 1. Изменить порядок интегрирования.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 2. Вычислить.
Задача 2. Вычислить.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 3. Вычислить.
Задача 3. Вычислить.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 4. Вычислить.
Задача 4. Вычислить.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 5. Вычислить.
Задача 5. Вычислить.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
Задача 6. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13.
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 7. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
Полярная система координат:
Задача 7. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19.
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 8. Пластинка 
задана ограничивающими ее кривыми, 
-поверхностная плотность. Найти массу пластинки.
Полярная система координат:
Задача 8. Пластинка задана ограничивающими ее кривыми, -поверхностная плотность. Найти массу пластинки.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6.
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14.
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 9. Пластинка задана ограничивающими ее кривыми, -поверхностная плотность. Найти массу пластинки.
Обобщенная полярная система координат:
Якобиан перехода:
Задача 9. Пластинка задана ограничивающими ее кривыми, -поверхностная плотность. Найти массу пластинки.
1. 
2.
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 10. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
Задача 10. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20.
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 11. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
Цилиндрические координаты:
Задача 11. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 12. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
Проекция на XOY.
Задача 12. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15.
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 13. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
Цилиндрические координаты:
Задача 13. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
1. 
2. 
3. 
4. 
(внутри цилиндра)
5. 
6.
7. 
8. 
(внутри цилиндра)
9. 
10. 
11. 
12. 
(внутри цилиндра).
13. 
14. 
15. 
16. 
(внутри цилиндра).
17. 
18. 
19. 
20. 
(внутри цилиндра).
21. 
22. 
23. 
24. 
(внутри цилиндра).
25. 
26. 
27. 
28. 
(внутри цилиндра).
29. 
30. 
31. 
Задача 14. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
Цилиндрические координаты:
Задача 14. Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15.
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23.
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задачи 15. Найти объем тела, заданного неравенствами.
Сферическая система координат:
Задачи 15. Найти объем тела, заданного неравенствами.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
Задача 16. Тело 
задано ограничивающими его поверхностями, -плотность. Найти массу тела.
Цилиндрическая система координат:
Задача 16. Тело задано ограничивающими его поверхностями, -плотность. Найти массу тела.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8.
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 