МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ




СОДЕРЖАНИЕ

    С.
  ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ (ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ)..  
1.1 Практическое занятие № 1...……………………………………………  
1.2 Практическое занятие № 2 ……..….……………..……………………..  
  ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ (НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ) ………………………………………………………………...  
2.1 Практическое занятие …...………………………………………………  
  МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ ……………….  
3.1 Практическое занятие № 1 ……………….……………………….……  
3.2 Практическое занятие № 2 ……………….………………..……………  
3.3 Практическое занятие № 3.…………….………….……………………  
  СИСТЕМЫЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ………………..  
4.1 Практическое занятие № 1 ……………………………………………...  
4.2 Практическое занятие № 2..………………………….…………………  
4.3 Практическое занятие № 3 …..………………….………………………  
  АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ………………………………………  
5.1 Практическое занятие № 1 ………………………………………….…..  
5.2 Практическое занятие № 2..………………………….…………………  
5.3 Практическое занятие № 3 …..……….…………………………………  
  Рекомендуемый список литературы для выполнения практических работ ……………………………………………………………………..  
  Приложение ……………………………………………………………..  

ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ (ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ)

Практическое занятие 1

 

Парная регрессия – уравнение связи двух переменных у и х:

y = f(x),

где у – зависимая переменная (результативный признак);

х – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии. Линейная регрессия:

у = a + b x + ε.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических ŷх минимальна, т.е.:

.

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно a и b:

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

,

.

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляци и rху для линейной регрессии (-1 ≤ rху ≤ 1):

,

и индекс корреляции ρху – для нелинейной регрессии (0 < ρху < 1):

.

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:

.

Допустимый предел значений – не более 8 – 10%.

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей

 

средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения:

.

 

Задачи для самоконтроля

 

Задача 1

Наблюдения 16 пар (x, y) дали следующие результаты:

Оцените регрессию .

 

Задача 2

При анализе зависимости между двумя показателями x и y по 25 наблюдениям получены следующие данные:

Оценить наличие линейной зависимости между x и x. Будет ли коэффициент корреляции ρxy статистически значимым?

 

Задача 3

По территориям региона приводятся данные (таблица)

Регион Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4
x y x y x y x y
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 

 

где x – расходы на покупку продовольственных товаров в общих расзодах, %;

y – среднедневная заработная плата одного работающего.

Требуется:

1) построить линейное уравнение парной регрессии y от x;

2) рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

 

Задача 4

Известна зависимость прибыли предприятия от различных факторов (таблица):

1 вариант 2 вариант 3 вариант 4 вариант
регрессия регрессия регрессия регрессия
  ŷ=0,61+4,53x1   ŷ=-3,86+1,26x1 -79 ŷ=-2,69+3,36x1   ŷ=0,34+14,48x1 -62
  ŷ=57,08+x2^4,96 7,2 ŷ=-13,24+x2^2,39 9,2 ŷ=-8,51+x2^3,52 8,3 ŷ=36,43+x2^5,92 4,4
  ŷ=48,05*9,03^x3 2,63 ŷ=54,1*10,05^x3 0,78 ŷ=90,15*5,45^x3 5,82 ŷ=7,6*2,41^x3 9,31
  ŷ=13,63+24,48/x4 2,12 ŷ=40,48+7,31/x4 6,69 ŷ=28,19+55,22/x4 1,96 ŷ=1,47+18,72/x4 5,22

 

Найти коэффициенты эластичности и ранжировать факторы по силе их влияния.

 

Задача 5

В таблице представлены исходные данные.

Район 1 вариант 2 вариант 3 вариант 4 вариант
y x y x y x y x
                 
                 
                 
                 
                 
                 
                 

 

где y – средняя заработная плата, усл. ед.;

x – прожиточный минимум, усл. ед.

Для характеристики y от x рассчитать параметры линейной регрессии, оценить тесноту связи и качество построенной модели.


 

Практическое занятие 2

 

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

,

где – общая сумма квадратов отклонений;

– сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясняемая» или «факторная»);

– остаточная сумма квадратов отклонений.

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака y характеризует коэффициент (индекс) детерминации R2:

.

Коэффициент детерминации – квадрат коэффициента или индекса корреляции.

F-тест – оценивание качества уравнения регрессии – состоит в проверке гипотезы H0 статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера. Fфакт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

,

где n – число единиц совокупности;

m – число параметров при переменных х.

Fтабл – это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α – вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.

Если Fтабл < Fфакт, то Н0 – гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если Fтабл > Fфакт, то гипотеза Н0 не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t -критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

, , .

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

;

;

.

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения
t -статистики – tтабл и tфакт – принимаем или отвергаем гипотезу H0.

Связь между F -критерием Фишера и t -статистикой Стьюдента выражается равенством

.

Если tтабл < tфакт, то H0 отклоняется, т.е. а, b и rxy не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если tтабл > tфакт, то гипотеза Н0 не отклоняется и признается случайная природа формирования a, b или rху.

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку Δ для каждого показателя:

, .

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

; ; ; ; ; .

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

Прогнозное значение ур определяется путем подстановки в уравнение регрессии ŷх = а + b х соответствующего (прогнозного) значения хр. Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза mŷp:

,

где ;

и строится доверительный интервал прогноза:

; ; ,

где .


Задачи для самоконтроля

 

Задача 1

Предполагается, что месячный доход граждан страны имеет нормальное распределение с математическим ожиданием M = 1000 ($) и дисперсией σ2 = 40000 ($)2. По выборке из 500 человек определили выборочный средний доход = 900 ($).

1. Постройте 90 и 95%-ные доверительные интервалы для среднедушевого дохода в стране.

2. Следует ли на основании построенных доверительных интервалов отклонить предположение о ежемесячном доходе в 1000 $?

3. Как проверить то же предположение на основании общей схемы проверки гипотез? Какую альтернативную гипотезу вы выбрали и почему?

 

Задача 2

Предполагается, что месячная зарплата сотрудников фирмы составляет 1000 ($) при стандартном отклонении σ = 100. Выборка из 36 человек дала следующие результаты: = 900($) и Sx = 150 ($). Можно ли по результатам проведенных наблюдений утверждать, что средняя зарплата сотрудников фирмы меньше рекламируемой, а разброс в зарплатах больше? Какие критические области вы в этом случае использовали?

 

Задача 3

Бюджетное обследование десяти случайно выбранных семей дало следующие результаты (в млн. руб.):

n Доход Y Сбережения S
  2,5 0,4
  3,6 0,5
  4,5 1,6
  2,4 0,3
  1,8 0,3
  3,3 0,9
  5,6 2,6
  4,2 1,1
  3,8 0,8
  5,4 0,9

 

1) Постройте корреляционное поле и по его виду определите формулу зависимости между S и Y. (Можно использовать при этом средства MS Excel и подобрать несколько форм зависимости по величине достоверности аппроксимации).

2) Оцените парную линейную регрессию S на Y.

3) Проинтерпретируйте результаты, ответив в том числе на вопросы:

(a) Спрогнозируйте накопления семьи, имеющей доход 4 млн. руб.;

(b) Предположим доход вырос на 1,5 млн. руб. Оцените, как возрастут накопления;

(c) Найдите значение эластичности сбережений по доходам в средней точке, если среднее значение доходов составляет 3,5 млн. руб.

4) Найдите 90% доверительные интервалы для коэффициентов линейной регрессии.

5) Найдите значения стандартных ошибок регрессии и коэффициентов.

6) Проверьте гипотезу о статистической значимости коэффициентов регрессии.

 

Задача 4

Менеджер новой чебуречной не уверен в правильности выбранной цены на товар А, поэтому в течение 12 недель варьирует цену и записывает количество проданного товара А. Полученные данные приведены в таблице (t номер недели, qt количество проданного товара А, pt цена единицы товара А (руб.)).

t pt qt t pt qt
  12,3     12,8  
  11,5     9,9  
  11,0     12,2  
  12,0     12,5  
  13,5     13,0  
  12,5     10,5  

 

1. Постройте корреляционное поле и установите тесноту связи между ценой и количеством проданного товара А. Выдвиньте предположение о форме зависимости между показателями.

2. Выбрав нелинейную форму модели, осуществите линеаризацию. Определите новые переменные, как qt' = ln qt; pt' = ln pt. Оцените параметры модели qt' = α + βpt' + εt (или в исходных обозначениях: ln qt = α + β ln pt + εt).

3. Используя полученные оценки коэффициентов, найдите для максимальной выручки от продаж цену товара А.

 

Задача 5

Следующие результаты были получены при построении линейной регрессионной модели Q (натуральный логарифм объема продаж яблок в килограммах) на P (натуральный логарифм стоимости яблок за килограмм в рублях) и константу. По n = 22 наблюдениям построено уравнение регрессии Qt = 5,2 1,48 Pt + εt. Оцененное значение дисперсии отклонений S2 = 0,05 и обратная матрица к матрице перекрестных произведений экзогенной переменной P.

1. Проверьте гипотезу о статистической значимости коэффициентов. Используйте при проверке гипотезы то, что
P (t20 < –1,72) = 0,05 и P (t20 < –1,32) = 0,10.

2. Спрогнозируйте величину Q при P = 1. Постройте так же 90%-ый доверительный интервал для величины Q при P = 1.


 

ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ
(НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ)

Практическое занятие

 

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

- полиномы разных степеней у = а + b1 x + b2 х2 + b3 х3 + ε;

- логарифмическая y = a + b ln x + ε;

- равносторонняя гипербола .

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

- степенная у = a xb ε;

- показательная y = a bx ε;

- экспоненциальная у = еа+bх ε.

Нелинейные уравнения регрессии можно разделить на два класса:

- уравнения, которые с помощью замены переменных можно привести к линейному виду в новых переменных x', y'

y ' = a ' + b ' x ';

- уравнения, для которых это невозможно. Назовем их внутренне нелинейными.

Для того чтобы оценить параметры нелинейных уравнений регрессии можно использовать МНК, но необходимо сначала преобразовать уравнение регрессии. Если уравнение не линейно по объясняющим переменным, но линейно по своим параметрам, то можно сделать замену переменной.

ŷ = a0 + a1/x.

Делается замена переменной x' =1/x и уравнение преобразовывается к виду:

ŷ = a0 + a1x'.

Параметры этого уравнения рассчитываются по обычным формулам, где используются фактические значения параметра y из выборки и рассчитанные по данным выборки с помощью значений переменной x'. Если уравнение не линейно и по объясняющим переменным и по параметрам, то его необходимо линеаризовать.

Линеаризующие преобразования для нелинейных моделей приведены в таблице 1

Для общей оценки качества построенной эконометрической определяются такие характеристики как коэффициент детерминации, индекс корреляции, средняя относительная ошибка аппроксимации, а также проверяется значимость уравнения регрессии с помощью F -критерия Фишера. Перечисленные характеристики являются достаточно универсальными и могут применяться как для линейных, так и для нелинейных моделей, а также моделей с двумя и более факторными переменными. Определяющее значение при вычислении всех перечисленных характеристик качества играет ряд остатков εi, который вычисляется путем вычитания из фактических (полученных по наблюдениям) значений исследуемого признака yi значений, рассчитанных по уравнению модели ŷi.

Таблица 1 – Линеаризующие преобразования для нелинейных моделей

Зависимость Формула Преобразование Зависимость между параметрами
Гиперболическая y' = y, a' = a, b' = b
Логарифмическая y' = y, x' = ln x a' = a, b' = b
Степенная y' = ln y, x' = ln x a' = ln a, b' = b
Показательная y' = ln y, x' = x a' = ln a, b' = ln b
Экспоненциальная y' = ln y, x' = x a' = a, b' = b

 

В случае нелинейной зависимости между показателями нельзя использовать для тесноты связи линейный парный коэффициент корреляции.

Индекс корреляции для нелинейных регрессий рассчитывается по формуле, как корень из коэффициента детерминации:

.

Эта величина всегда лежит в интервале от 0 до 1. Если между показателями x и y существует функциональная зависимость, выражаемая построенным уравнением регрессии, то объясняемая дисперсия будет равна единице (R = 1). Если между показателями x и y отсутствует зависимость, то объясненная дисперсия будет равна нулю (R = 0).

Чтобы убедиться в пригодности и надежности построенной модели для использования в прикладных целях используют F -критерий Фишера.

 

Задачи для самоконтроля

 

Задача 1

Получены функции:

y = a + bx3, y = a + b ln x, y = a + bxc, ya = b + cx2, y = 1 + a(1 – xb),
y = a + bx/10.

Определите, какие из представленных выше функций линейны по переменным, линейны по параметрам, нелинейны ни по переменным, ни по параметрам.

 

Задача 2

Для трех видов продукции А, В и С модели зависимости удельных постоянных расходов от объема выпускаемой продукции выглядит следующим образом:

yA = 600; yB = 80 + 0,7 x; yC = 40x0,5.

Определите коэффициенты эластичности по каждому виду продукции и поясните их смысл. Определите, каким должен быть объем выпускаемой продукции, чтобы коэффициенты эластичности для В и С были равны. Сравните эластичность затрат для продукции В и С при х = 1000.

 

Задача 3

Изучается зависимость материалоемкости продукции от размера предприятия по 10 однородным заводам (см. таблицу).

Показатель Материалоемкость продукции по заводам
                   
Потреблено материалов на единицу продукции, кг., y         3,7 3,6 3,5     3,5
Выпуск продукции, тыс. ед., х                    

1. Найдите параметры уравнения ;

2. Оцените тесноту связи с помощью индекса корреляции;

3. Охарактеризуйте эластичность изменения материалоемкости продукции;

4. Сделайте вывод о значимости уравнения регрессии.

 

Задача 4

Некоторая организация в течении 6 кварталов вкладывала всю прибыль в свое развитие. При этом предполагается, что прибыль растет по показательному закону у = abx (здесь фактор x – номер квартала, y – прибыль, млн. руб.). Составить уравнение регрессии, найти коэффициент нелинейной корреляции, и при α = 0,0.5 проверить его значимость.

xi, номер квартала            
yi, прибыль, млн.руб.            

 

Задача 5

Владелец супермаркета доставил задачу определить зависимость между средней длинной очереди в кассу (фактор y, чел.) и количеством касс, обслуживающих клиентов (фактор x, шт.). По результатам наблюдений были получены выборки значений:

xi              
yi              

 

Предполагается, что зависимость между факторами имеет вид
у(х) = ах2 + bх + с. Построить уравнение параболической регрессии, найти нелинейный коэффициент парной корреляции и на уровне значимости
α = 0,05 проверить его значимость.

МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ

Практическое занятие 1

 

Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

y = f(x1, х2,..., хр),

где у – зависимая переменная (результативный признак);

x1, х2,..., хр – независимые переменные (факторы).

Для построения уравнения множественной регрессии чаще используются следующие функции:

- линейная – у = а + b1 х1 +b2 х2 +... + bр хр + ε;

- степенная – ;

- экспонента – ;

- гипербола – .

Можно использовать и другие функции, приводимые к линейному виду.

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:

Решение системы может быть найдено по формулам Крамера:

, ,…,

где Δ – главный определитель системы нормальных уравнений:

Δa, Δb1, … Δbp – частные определители, получаемые путем замены соответствующего столбца матрицы главного определителя системы.

Другой вид уравнения множественной регрессии – уравнение регрессии в стандаптизованном масштабе:

где ty, tx1, …,txp – стандартизованные переменные: , , для которых среднее значение равно нулю , а среднее квадратическое отклонение равно единице: ;

βj – стандартизованные коэффициенты регрессии, которые показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения σy (или на сколько σy) изменится результат у с увеличением соответствующего фактора xj на величину своего среднего квадратического отклонения σxj при неизменномсреднем уровне других факторов, оказывающих влияние на у.

К уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе применим МНК. Стандартизованные коэффициенты регрессии (β -коэффициенты) определяются из следующей системы уравнений:

Связь коэффициентов множественной регрессии bi со стандартизованными коэффициентами βj описывается соотношением:

, .

Параметр а определяется по формуле:

Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии показывают, на сколько процентов в среднем изменится результат у при изменении соответствующего фактора xi на 1%, и рассчитываются по формуле:

Данные показатели эластичности можно сравнивать между собой и, тем самым, ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.

Частные коэффициенты эластичности рассчитываются по формуле:

где bj – коэффициенты регрессии для фактора хj в уравнении множественной регрессии;

частное уравнение регрессии, которое связывает результативный признак у с соответствующими факторами х при закреплении фактора xj на среднем уровне.


Задачи для самоконтроля

 

Задача 1

Имеются следующие условные данные о сменной добыче угля на одного рабочего y, мощности пласта x1, и уровня механизации работника x2 характеризующие процесс добычи угля в 10 шахтах.

                   
x1                    
x2                    
y                    

 

1. Найти значения парных коэффициентов корреляции;

2. Найти параметры уравнения множественной регрессии в естественной и стандартизированной форме;

3. Рассчитать средние коэффициенты эластичности.

 

Задача 2

Изучается зависимость по 30 территориям России среднедневного душевого дохода у (руб.) от среднедневной заработной платы одного работающего х1 (руб.) и среднего возраста безработного х2 (лет). Данные приведены в таблице:

Признак Среднее значение Среднее квадратическое отклонение Парный коэффициент корреляции
у 86,8 11,44 = 0,8405
х1 54,9 5,86 = -0,2101
х2 33,5 0,58 = -0,116

 

Постройте уравнение множественной регрессии в нормальном и стандартизованном виде.

 

Задача 3

Перейти от уравнения регрессии в натуральном масштабе переменных, описывающей зависимость среднедневного душевого дохода (у, руб.) от среднедневной заработной платы одного работающего (х1, руб.) и среднего возраста безработного (х2, лет) у = 337,373 + 1,966 х1 – 12,0867 х2 к уравнению регрессии в стандартизованном масштабе переменных, если известно, что
σy = 61,44, σx1 = 25,86, σx2 = 0,58 и интерпретировать коэффициенты уравнения регрессии.

 

Задача 4

Изменение спроса на некоторое благо (у) у домашних хозяйств определенной структуры можно объяснить с помощью цены этого блага (х1) и дохода домохозяйства (х2). Соответствующая информация представлена в таблице:

у 31,4 30,4 32,1   30,5 29,8 31,1 31,7 30,7 29,7
х1 4,1 4,2   4,6     3,9 4,4 4,5 4,8
х2                    

 

Оцените с помощью метода наименьших квадратов параметры линейного двухфакторного уравнения, и интерпретировать оценки.

 

Задача 5

Перейти от уравнения регрессии в стандартизованном масштабе переменных, описывающей зависимость объема производства (у, тыс. руб.) от количества занятых (х1, чел.) и стоимости основных фондов (х2 тыс. руб.)
ty = 0,4 tx1 + 0,53 tx2, к уравнению регрессии в натуральном масштабе переменных, если известно, что σy = 345,3, σx1 = 5,7, σx2 = 98,8, = 3173,
= 48,3, = 597 и интерпретировать коэффициенты уравнения регрессии.


 

Практическое занятие 2

 

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции:

Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах
от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции:

Для линейного уравнения в стандартизованном масштабе индекс множественной корреляции может быть найден в виде:

При линейной зависимости возможно выражение через матрицу парных коэффициентов корреляции:

где Δr – определитель матрицы парных коэффициентов корреляции:

Δr11 – определитель матрицы межфакторной корреляции (минор, получаемый при вычеркивании первой строки и первого столбца определителя):

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на у фактора х, при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле:

или по рекуррентной формуле:

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от –1 до 1.

Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) детерминации. Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции:

.

Скорректированный индекс множественной детерминации содержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле:

где n – число наблюдений;

m – число факторов модели.

 

Задачи для самоконтроля

 

Задача 1

По 30 территориям России имеются следующие данные:

Признак Среднее значение Среднее квадратическое отклоне


Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-04-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: