Имеет место простое совпадение согласованности изменений х и у.
Само по себе установление причинно-следственных связей является важной задачей. Используются различные способы формирования связей между внешними факторами и показателями системы. Например, может быть использован экспертный метод с привлечением коллективов экспертов разных специальностей.
Регрессионная модель 
— это параметрическое семейство функций, задающее отображение
где 
— пространтсво параметров, 
— пространство свободных переменных, 
— пространство зависимых переменных.
Регрессионная модель объединяет широкий класс универсальных функций, которые описывают некоторую закономерность. При этом для построения модели в основном используются измеряемые данные, а не знание свойств исследуемой закономерности. Такая модель часто неинтерпретируема, но более точна. Это объясняется либо большим числом моделей-претендентов, которые используются для построения оптимальной модели, либо большой сложностью модели. Нахождение параметров регрессионной модели называется обучением модели.
Примеры регрессионных моделей: линейные функции, алгебраические полиномы, ряды Чебышёва, нейронные сети без обратной связи, например, однослойный персептрон Розенблатта, радиальные базисные функции и прочее.
В любой эконометрической модели в зависимости от конечных прикладных целей ее использования все участвующие в ней переменные подразделяются на:
· Экзогенные (независимые) – значения которых задаются «извне», автономно, в определенной степени они являются управляемыми (планируемыми) (X);
· Эндогенные (зависимые) - значения которых определяются внутри модели, или взаимозависимые (Y).
· Лаговые – экзогенные или эндогенные переменные эконометрической модели, датированные предыдущими моментами времени и находящиеся в уравнении с текущими переменными. Например:
yt – текущая эндогенная переменная,
yt -1 – лаговая эндогенная переменная (отстоящая от текущей на 1 период назад),
yt -2 – тоже лаговая эндогенная переменная (отстоящая от текущей на 2 периода).
· Предопределенные переменные – переменные, определяемые вне модели. К ним относятся лаговые и текущие экзогенные переменные (xt, xt-1), а также лаговые эндогенные переменные (yt- 1).
Случайной ошибкой называется отклонение в линейной модели множественной регрессии:
В связи с тем, что величина случайной ошибки модели регрессии является неизвестной величиной, рассчитывается выборочная оценка случайной ошибки модели регрессии по формуле:
где ei – остатки модели регрессии.
Термин гетероскедастичность в широком смысле понимается как предположение о дисперсии случайных ошибок модели регрессии.
При построении нормальной линейной модели регрессии учитываются следующие условия, касающиеся случайной ошибки модели регрессии:
6) математическое ожидание случайной ошибки модели регрессии равно нулю во всех наблюдениях:
7) дисперсия случайной ошибки модели регрессии постоянна для всех наблюдений:
8) между значениями случайных ошибок модели регрессии в любых двух наблюдениях отсутствует систематическая взаимосвязь, т. е. случайные ошибки модели регрессии не коррелированны между собой (ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю):
Второе условие
означает гомоскедастичность (homoscedasticity – однородный разброс) дисперсий случайных ошибок модели регрессии.
Под гомоскедастичностью понимается предположение о том, что дисперсия случайной ошибки является известной постоянной величиной для всех наблюдений.
Но на практике предположение о гомоскедастичности случайной ошибки ei выполняется не всегда.
Под гетероскедастичностью (heteroscedasticity – неоднородный разброс) понимается предположение о том, что дисперсии случайных ошибок являются разными величинами для всех наблюдений, что означает нарушение второго условия нормальной линейной модели множественной регрессии:
Гетероскедастичность можно записать через ковариационную матрицу случайных ошибок модели регрессии:
Тогда можно утверждать, что случайная ошибка модели регрессии подчиняется нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2:
где – матрица ковариаций случайной ошибки.
Если дисперсии случайных ошибок
модели регрессии известны заранее, то проблема гетероскедастичности легко устраняется. Однако в большинстве случаев неизвестными являются не только дисперсии случайных ошибок, но и сама функция регрессионной зависимости y=f(x), которую предстоит построить и оценить.
Для обнаружения гетероскедастичности остатков модели регрессии необходимо провести их анализ. При этом проверяются следующие гипотезы.
Основная гипотеза H0 предполагает постоянство дисперсий случайных ошибок модели регрессии, т. е. присутствие в модели условия гомоскедастичности:
Альтернативная гипотеза H1 предполагает непостоянство дисперсиий случайных ошибок в различных наблюдениях, т. е. присутствие в модели условия гетероскедастичности:
Гетероскедастичность остатков модели регрессии может привести к негативным последствиям:
1) оценки неизвестных коэффициентов нормальной линейной модели регрессии являются несмещёнными и состоятельными, но при этом теряется свойство эффективности;
2) существует большая вероятность того, что оценки стандартных ошибок коэффициентов модели регрессии будут рассчитаны неверно, что конечном итоге может привести к утверждению неверной гипотезы о значимости коэффициентов регрессии и значимости модели регрессии в целом.
АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ [autocorrelation, serial correlation] — корреляционная связь (см. Корреляция) между значениями одного и того же случайного процессаX (t) в моменты времени t 1 и t 2. Функция, характеризующая эту связь, называется автокорреляционной функцией.
При анализе временных рядов автокорреляционная функция характеризует внутреннюю зависимость между временным рядом и тем же рядом, но сдвинутым на некоторый промежуток времени (сдвиг). Иначе говоря, это корреляция членов ряда и передвинутых на L единиц времени членов того же ряда: x 1, x 2, x 3,... и x 1+ L , x 2+ L , x 3+ L ,... Запаздывание L называется лагом и является положительным целым числом. В некоторых работах А. определяется как корреляционная зависимость между соседними значениями уровней временного ряда.
Наличие А. затрудняет применение ряда классических методов анализа временных рядов. В моделях регрессии, описывающих зависимости между случайными значениями взаимосвязанных величин, она снижает эффективность применения метода наименьших квадратов. Поэтому выработаны и применяются специальные статистические приемы для ее выявления (напр., критерий Дарбина — Уотсона) и элиминирования (напр., преобразование временного ряда в ряд значений разностей между его соседними членами), а также для модификации самого метода наименьших квадратов.
Трендом называют неслучайную, медленно меняющуюся составляющую временного ряда, на которую могут накладываться случайные колебания или сезонные эффекты.
Определить понятие тренда довольно трудно. Вообще, под трендом понимают некоторое устойчивое, систематическое изменение, наблюдаемое в течение длительного времени и описывающее долговременную тенденцию развития изучаемого показателя. Главная трудность состоит в том, что понятия «длительный», «долговременный» весьма относительны.Регрессия [regression] – зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от некоторой другой величины (парная регрессия) или нескольких величин (множественная регрессия).
Уравнение линейной парной регрессии имеет вид: 
.
Можно воспользоваться готовыми формулами решения системы:
 ,  ,
| (1.2) |
где 
– среднее значение фактора X;
– среднее значение результативной переменной Y;
– среднее значение произведения переменных X и Y;
– среднее значение квадрата переменной Х;
– ковариация переменных Х и Y;
– дисперсия переменной Х.
Коэффициент регрессии b показывает, на сколько единиц в среднем по совокупности изменится результирующая переменная Y, если факторная переменная Х увеличится на одну единицу.