КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ
Примеры решения задач
Пример 1. Поле скоростей задано следующим образом: 
, 
, 
, где 
. Выяснить, возможно ли такое течение. Если да, то найти вид и направление течения. Определить расход жидкости через отрезок прямой, соединяющий точки с координатами 
, 
и 
, 
.
Решение. Выясним, возможно ли течение. Это означает, выполняется ли уравнение неразрывности. В дифференциальной форме уравнение неразрывности имеет вид:
, (1)
где ρ – плотность жидкости, t – время.
Так как по условию задачи , то течение плоское (в плоскости ху). Кроме того, в данном случае плотность жидкости постоянная величина (
), поэтому 
. Тогда после вынесения плотности за знак дивергенции и ее сокращения из уравнения (1) получим:
. (2)
Если уравнение (2) будет выполняться для заданного распределения скоростей, то, значит, такое течение существует. Проверим это.
Уравнение (2) эквивалентно следующему:
(3)
или для конкретного распределения скоростей:
,
.
Следовательно, течение существует.
Найдем вид течения. Для этого запишем уравнение линий тока:
(4)
Подставляя в (4) значения скоростей 
, 
, 
, получим следующее дифференциальное уравнение:
, (5)
Проинтегрировав (5), получаем решение в виде:
, (6)
С – константа интегрирования.
Функция (6) представляет собой гиперболу. Это означает, что линиями тока рассматриваемого течения являются гиперболы, лежащие в Ι-ой и ΙΙΙ-ей четвертях координатной сетки (рис. 1).
Вектор скорости в данной точке в данный момент времени направлен по касательной к линии тока. Для некоторой точки а, лежащей в Ι-ой четверти и имеющей положительные координаты (
, 
), составляющие скорости 
, 
, поэтому вектор скорости направлен, как показано на рис. 1, и течение в Ι-ой четверти происходит по гиперболам вниз. Аналогичные рассуждения для произвольной точки в ΙΙΙ-ей четверти позволяют выяснить, что в ней течение происходит по гиперболам вверх.
Далее определим расход через отрезок прямой, соединяющей точки с координатами , и , .
Расход жидкости между двумя линиями тока (рис. 2) равен разности значений функций тока на этих линиях. Полагая размер потока в направлении нормали к плоскости чертежа равным единице, имеем:
(7)
В нашем случае роль кривой АВ выполняет отрезок прямой между точками с координатами , и , .
Тогда из (7) имеем:
.
Вычислив интегралы, окончательно получаем:
.
Пример 2. Для условия примера 1, выяснить, является ли течение безвихревым. Если оно безвихревое, то найти выражение для потенциала скорости, если вихревое – определить вектор-вихрь 
.
Решение. Течение является вихревым, если существует хотя бы одна составляющая вектора угловой скорости 
вращения частиц жидкости. Найдем эти составляющие:
,
,
.
Поскольку все составляющие вектора равны нулю, то течение безвихревое, т.е. потенциальное.
Найдем потенциал скорости:
. (1)
Потенциал скорости и скорость связаны соотношением:
. (2)
В свою очередь
(3)
и 
. (4)
Приравняв (3) и (4) согласно (2) и сравнив члены при 
, 
и 
, имеем:
, 
, 
.
Тогда окончательно из (1) получим следующее выражение для потенциала скорости:
.
Задачи для самостоятельного решения
Задача №1. Получить уравнение линий тока для течения жидкости, поле скоростей которого определено следующим образом: ux = – ay, uy = aх, uz =0, где a= const>0. Определить направление течения.
Задача №2. Жидкость движется вдоль плоской стенки так, что скорости жидких частиц пропорциональны расстоянию y от стенки: ux = ay, uy = uz =0, где a= const>0. Потенциален ли поток? Если да, то найти потенциал скорости. Если нет – найти поле вихрей.
Задача №3. Можно ли функцию 
принять за потенциал скорости некоторого потока жидкости при a>0? Если да, то найти вид этого течения и функцию тока. Определить расход жидкости через отрезок прямой, соединяющей точки (0,0) и (1,1).