Скорости и ускорения при естественном задании движения точки

Тема: Определение скорости и ускорения движения точки

Определение скорости и ускорения при векторном способе задания движения точки

 

Скорость точки одна из основных характеристик движения. Пусть положение точки М в момент времени t определяется радиусом - вектором , а в момент - радиусом - вектором , (рис. 5.3). Тогда за промежуток времени перемещение точки будет определяться вектором .

Вектор средней скорости равен отношению вектора перемещения к промежутку времени, за который это перемещение произошло:

 

.

 

Рис. 5.3

 

Направление векторов и совпадают.

Скоростью точки в данный момент времени называется векторная величина , к которой стремится при стремлении к нулю:

 

.

 

Этот предел представляет собой первую производную от вектора по времени t, т.е.

 

. (5.4)

 

Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса - вектора точки по времени.

Направлен вектор скорости по касательной к траектории, т.к. пределом секущей является касательная. Размерность скорости в системе СИ, м/с.

Ускорение точки характеризует изменение скорости с течением времени. Пусть - скорость в момент времени t, a - скорость точки в момент времени . Тогда за промежуток времени скорость изменяется на (рис.5.4).

Вектор среднего ускорения равен:

 

.

 

Направлен вектор по направлению , т.е. всегда в сторону вогнутости траектории (рис. 5.4)

 

 

Рис. 5.4

 

Ускорением точки в данный момент времени называется векторная величина , к которой стремится в пределе среднее ускорение при стремлении к нулю:

 

,

 

С учетом уравнения (5.4)

 

. (5.5)

 

Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса - вектора точки по времени.

Направлен вектор в сторону вогнутости траектории в соприкасающейся плоскости, т.к. в пределе точка стремиться к точке М.

Размерность ускорения в системе СИ, м/с².

Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения

 

Для определения скорости точки спроектируем векторное уравнение (5.4) на координатные оси, получим:

 

. (5.6)

Проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

Модуль скорости через ее проекции на координатные оси

 

. (5.7)

 

Направление скорости найдем по направляющим косинусам

 

. (5.8)

 

Ускорение точки определяется аналогично скорости из уравнения (5.5).

Проекции ускорений на координатные оси

 

. (5.9)

 

Проекции ускорений на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени.

Модуль ускорения

 

. (5.10)

 

Направление ускорения

 

. (5.11)

 

Скорости и ускорения при естественном задании движения точки

 

При естественном способе задания движения точки траектория известна, поэтому в качестве системы отсчета принимается не произвольная Oxyz декартова система координат (в которой траекторию надо определять и строить), а оси естественного (скоростного) трехгранника , которые перемещаются вместе с движущейся точкой. Ось направлена по касательной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния; ось n - по нормали к траектории в соприкасающейся плоскости (в плоскости кривой, если кривая плоская); ось b - перпендикулярна к первым двум. Эти оси называются: касательная, главная нормаль, бинормаль.

Рис.5.2

Скорость точки направлена по касательной к траектории и определяется только одной проекцией , на ось . Следовательно, совпадает по модулю с V и может отличаться знаком минус (при замедленном движении).

Найдем ее значение. Пусть за промежуток времени тело совершит перемещение по траектории (рис. 5.2). Тогда средняя скорость и в пределе получим

 

. (5.12)