Задание №1. Интерполяция
1. Сконструировать произвольную функцию , непрерывную на интервале . Создать два вектора и , где – случайное число, равномерно распределенное на отрезке .
2. По исходным данным построить интерполяционный полином Лагранжа. Построить графики исходных данных и полинома Лагранжа. Протабулировать полином Лагранжа на промежутке в девяти равноотстоящих точках.
2. По исходным данным провести линейную интерполяцию. Построить графики исходных данных и интерполяционной функции. Найти значение интеграла в пределах от интерполяционной функции.
3. Интерполировать исходные данные с помощью кубических сплайнов с использованием функций lspline, pspline, cspline. Построить графики исходных данных и интерполяционных функций. Экстраполировать значение функции в точке .
Решение
Зададим функцию
Создадим два вектора
, где – случайное число, равномерно распределенное на отрезке .
Построим график исходных данных
Рис. 1. Исходные данные
Создадим функцию, определяющую интерполяционный полином Лагранжа:
Построим графики исходных данных и полинома Лагранжа.
Рис. 2. Интерполяционный полином Лагранжа
Протабулируем полином Лагранжа на промежутке [0,2] в девяти равноотстоящих точках табулированием
Проведем линейную интерполяцию с помощью функции linterp(x,y,t), где
x – вектор действительных значений аргумента (обязательно должны идти в порядке возрастания );
y – вектор действительных значений данных той же размерности;
t – значение аргумента, при котором вычисляется интерполяционная функция.
Построим графики исходных данных и интерполяционной функции.
Рис. 3. Линейная интерполяция
|
Для интерполяции сплайнами используется функция interp. Перед применением функции interp необходимо предварительно определить первый из ее аргументов — векторную переменную s.
Делается это при помощи одной из трех встроенных функций тех же аргументов (х, у):
• lspline (х, у) — вектор значений коэффициентов кубического сплайна с интерполяцией линейными функциями на граничных точках;
• pspline (х, у) — вектор значений коэффициентов кубического сплайна с интерполяцией квадратичными функциями на граничных точках;
• cspline(х,у) — вектор значений коэффициентов кубического сплайна с интерполяцией кубическими функциями на граничных точках:
Выбор конкретной функции сплайновых коэффициентов влияет на интерполяцию вблизи конечных точек интервала.
Интерполируем исходные данные с использованием сплайнов:
Рис. 4. Сплайновая интерполяция
Экстраполируем значение функции в точке
Задание №2. Оптимизация динамических систем
Пусть дан объект, динамика которого определяется функцией:
Построить частотные характеристики данного объекта: КЧХ , ФЧХ и АЧХ . Найти частоту , начиная с которой АЧХ , найти значение ФЧХ при этой частоте. Для замкнутой системы с интегральным регулятором (T – варьируемый параметр настройки регулятора), передаточная функция по внутреннему каналу действия возмущения принимает вид . Построить график КЧХ системы при T=10: . Определить такое значение параметра настройки регулятора T, при котором интегральный квадратичный критерий качества регулирования системы принимает минимальное значение → min. Построить график , показать на нем минимальное значение и значение Т, на котором оно достигается.
Решение
Пусть дан объект, динамика которого определяется функцией:
Зададим функцию и определим все частотные характеристики:
Построим график КЧХ динамического объекта
Рис. 5. КЧХ динамического объекта
Построим АЧХ и ФЧХ динамического объекта
Рис. 6. АЧХ и ФЧХ динамического объекта
Определим частоту и значение . Для чего по графику определим начальное приближение к корню:
Определим передаточную функцию замкнутой системы по внутреннему каналу действия возмущения с интегральным регулятором (T – варьируемый параметр настройки регулятора):
Построим график КЧХ замкнутой системы:
Рис. 7. График КЧХ замкнутой системы
Построим график интегрального квадратичного критерия качества регулирования системы → min.
Рис. 8. График интегрального квадратичного критерия качества регулирования
Задание №3. Двумерная аппроксимация
Получить экспериментальные значения в матрице М размерностью 5х5: , где – случайное возмущение, и , , где значения параметров взять произвольно. Построить аппроксимацию данных моделью . Определить невязку и сравнить исходные значения параметров модели и полученные в ходе аппроксимации.
Решение
Получим экспериментальные данные в матрице M:
Зададим функцию невязки по узлам аппроксимации:
Зададим начальные значения искомых коэффициентов и найдем минимум функции невязки
Постоим аппроксимирующую функцию
Рис. 9. Двухмерная аппроксимация