Теорема. Для любого элемента fÎR в существует элемент наилучшего приближения.
Доказательство. Пусть
Зафиксируем f и заставим пробегать Ф все пространство - при этом у функции g, h будут изменяться коэффициенты ai. Докажем непрерывность функций g, h.
Рассмотрим функцию g.
Зафиксируем некоторую точку и оценим разность:
По свойствам нормы (доказательство: ||f1||=||f2+(f1-f2)||£||f2||+||f1-f2||, ||f2||=||f1+(f2-f1)||£||f1||+||f2-f1||) Þ | ||f2||- ||f1|| |£ ||f2-f1||)
Отсюда
Непрерывность функции g означает, что .
Обозначим , возьмем
и неравенство при этих условиях выполняется. Функция h³0. Пусть m=inf[h(ai)] -точная нижняя грань. Докажем, что найдутся такие ai, при которых эта точная нижняя грань достигается. Рассмотрим множество точек
-единичная сфера пространства. Это ограниченное замкнутое множество, следовательно, по теореме Кантора непрерывная положительная функция f должна достигать своей нижней границы m в этом пространстве. m¹0, так как
. Следовательно,
такие, что
(аксиома нормы).
Пусть . Разобьем пространство
на две части: R1 и R2.
R1 - все точки, у которых ;
R2 - все точки, у которых ;
Рассмотрим значения функции h на множестве R2. Здесь
и h
=
Это означает, что на множестве R2 m не является точной нижней границей, а значит, m не является точной нижней гранью R1. Но множество R1 ограничено и замкнуто, а функция h - непрерывная, значит, она обязана достигать в некоторой точке своей нижней грани (непрерывный образ компакта есть компакт). Обозначим эту точку через и
.
Итак, в существует элемент наилучшего приближения.
Определение. Множество называется строго нормированным, если в условии знак равенства достигается только тогда, когда
, a>0.
Теорема. Достаточный признак единственности элемента наилучшего приближения.
Если пространство R строго нормировано, то элемент наилучшего приближения является единственным.
Доказательство. Пусть существуют два различных элемента наилучшего приближения для fÎR: и
.
так как Ф1 и Ф2 - элементы наилучшего приближения, . (m¹0, так как иначе бы
оказались бы линейно зависимыми).
Так как норма, стоящая в левой части не может быть меньше m, то
В силу того, что пространство R строго нормировано,
, так как иначе f выражалась бы в виде линейной комбинации
. Следовательно, m=0, а значит Ф1=Ф2.
Определение. Назовём систему функций системой Чебышева на отрезке [a,b], если любой обобщенный многочлен (линейная комбинация этих функций) по этой системе, у которого хотя бы один из коэффициентов отличатся от 0, имеет на [a,b] не более n нулей.
Утверждение. Функции 1, x, x2, x3,..., xn образует систему Чебышева на любом отрезке [a,b].
Пусть Hn(P) - множество всех алгебраических многочленов степени n.
Число называется наименьшим отклонением, или наилучшим приближением.
Теорема Хаара. Для того чтобы для любой заданной функции f(x)ÎC[a,b] существовал единственный обобщенный многочлен наилучшего приближения, необходимо и достаточно, чтобы функции образовали систему Чебышева.
(без доказательства)
На основании теоремы Хаара можно утверждать, что существует единственный многочлен Pn(x)ÎHn(x), для которого отклонение от функции f будет наименьшим.
Определение. Пусть Pn(x) - полином наилучшего приближения для функции f(x)ÎC[a,b], то есть . Тогда
. Такую точку будем называть (е) - точкой.
Если P(x0)-f(x0)=Enf, то x0 называется (+) -точкой;
Если P(x0)-f(x0)=-Enf, то x0 называется (-) -точкой
Теорема Чебышева. Пусть функция f(x)ÎC[a,b] и f(x)ÏHn(P),то есть не является алгебраическим многочленом степени n.
Тогда:
1) существуют как (+) –точки, так и (-) –точки;
2) существует последовательность из (n+2) точек, которые попеременно являются (+) и (-) точками. Эту последовательность из (n+2) точек называют Чебышевским альтернансом.
Говорят также, что функция альтернирует P(xi)-f(xi)=(-1)2Enf
Замечание. Пусть Ф(x) -некоторый обобщенный многочлен и на [a,b] существуют n+2 точки , что разность f(xi)- Ф(xi) принимает в них значения с чередующимися знаками. Тогда если m - наименьшее из значений |f(xi)- Ф(xi)|, то
Пример. Пусть функция f(x)ÎC[a,b] приближается многочленом нулевой степени. Пусть ,
.
Многочлен является многочленом наилучшего равномерного приближения, x1, x2 - точками чебышевского альтернанса, причем
.
m |
M |
(M+m)/2 |
a |
b |
P0(x) |
x1 |
x2 |
Пример 2. Выпуклая дифференцируемая на [а,b] функция f приближается многочленом P1(x)=a0+a1x. Вследствие выпуклости f разность f(x)-(a0+a1x) может иметь только одну точку экстремума на интервале (a,b). Поэтому точки a,b являются точками Чебышевского альтернанса. Пусть с(a,b) –третья точка альтернанса. Согласно теореме Чебышева должны выполняться условия f(a)-(a0+a1a)=R, f(c)-(a0+a1c)=-R, f(b)-(a0+a1b)=R, где R= s||P1(x)-f(x)||С[a,b] неизвестно. Из первого и второго условия получаем a1=(f(b)-f(a))/(b-a). Точка c является точкой экстремума разности f(x)-(a0+a1x) и ищется из уравнения f/(c)-a1=0. Далее из первого и второго уравнений определяются a0 и E1f=|R|.
Геометрически решение данной задачи сводится к следующему:
1. Проводится хорда с наклоном a1. 2. С этим же наклоном проводится касательная к кривой y. 3. Строится секущая посередине между хордой и касательной, дающая среди всех этих прямых наилучшее равномерное приближение кривой y=f(x) на отрезке [a,b].
Пример 2. Выпуклая дифференцируемая на отрезке [1,2] функция f(x)= приближается многочленом первой степени Р1(x)=a0+a1x.
f(x)-(a0+a1x) также выпуклая, разность может иметь только одну точку экстремума на отрезке [1,2], поэтому точки a=1 и b =2 являются точками чебышевского альтернанса.
-третья точка чебышевского альтернанса, c=x.
и
;
Таким образом из первого и второго уравнения получаем a0.
-0,483757211
Геометрически решение данной задачи сводится к следующему:
1. Проводится хорда с наклоном a1. Затем с этим же наклоном проводится касательная к кривой y. Наконец, строится секущая посередине между хордой и касательной, дающая среди всех прямых наилучшее равномерное приближение кривой y=f(x) на отрезке [a,b].
В общем случае построение многочлена наилучшего равномерного приближения затруднено, поэтому находят многочлен, близкий к наилучшему либо находят многочлен, дающий равномерное приближение с требуемой точностью e³0, т.е. удовлетворяющего условию . Такой Pn(x) не является наилучшим приближением.
Способы нахождения многочленов, близких к наилучшему.
1. Если f(x)ÎC[a,b], а fn+1 - производная n+1 - порядка, которая мало изменяется на интервале [a,b], то интерполяционный многочлен Лагранжа Ln(x) с чебышевскими узлами является близким к наилучшему.
2. Метод, применимый для функций, разлагающихся в ряд Тейлора.
пусть требуется приблизить равномерно функцию f(x)=arctg(x) на отрезке [-a,a], где с точностью 0,5×10-5 . Берем сначала отрезок ряда Тейлора, аппроксимирующий данную функцию с несколько более высокой точностью, чем заданная.
Полагаем .
При этом . Подстановкой x=at переходим к отрезку [-1;1]:
Чтобы понизить степень, добавим к S11(t) многочлен Чебышева 0,0000056×2-10T11(t). Получим
Имеем:
Таким образом, многочлен S9(t) уклоняется на отрезке [-1;1] от многочлена S11(t) на величину, которая значительно меньше, чем максимальное по модулю значение старшего члена у многочлена S11(t) при t=±1. Поэтому такой способ понижения степени предпочтительней, чем отбрасывание старшего члена.
Поступая аналогично ещё два раза, находим
где T7(t), T9(t) - многочлены Чебышева: ,
.
При этом
;
.
Вернемся к первоначальной переменной x:
, причем
-искомый многочлен, аппроксимирующий равномерно функцию arctg x на отрезке [-tg(p/8); tg(p/8)] с заданной точностью 0,5×10-5.
Замечание. Многочлен Тейлора 7 степени такую точность не обеспечивает.
Метод наименьших квадратов.
Определение. Линейное пространство F с введенным на нем скалярным произведением (f,g) наз евклидовым пространством и обозначается через E.
Рассмотрим пространство непрерывных на [a,b] функций со скалярным произведением
и линейное пространство En+1 функций, заданных на конечном (дискретном) множестве точек x0, x1,..., xn некоторого отрезка [a,b] со скалярным произведением
Функцию fÎ En+1 можно считать n+1 -мерным вектором f=(f0, f1,..., fn), где fi=f(xi). (Проверить выполнение аксиом скалярного произведения: 1) (f,g)=(g,f) 2) (f,f)³0, (f,f)=0 Û f=Q 3)(a f,g)=a (f,g) 4) (f1+f2,g)=(f1,g) +(f2,g))
Следствие. Всякое евклидово пространство одновременно является линейным нормированным пространством с нормой , а значит, и метрическим пространством с расстоянием
(Проверить 3 аксиомы нормы).
Определение. Пусть в евклидовом пространстве E дана система функций . Тогда определитель
составленный из скалярных произведений, называется определителем Грамма системы функций .
Лемма 1. Определитель Грамма равен нулю тогда и только тогда, когда система функций линейно зависима.
(Док сам-но)
Определение. система функций называется ортогональной, если
, j¹k;
, 0£j,k£m.
Утв. Если система функций ортогональна, то она линейно независима (мет от против)
Многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения.
Определение. Функция Фm(x)= , где c0, c1,..., cm - числовые коэффициенты, называется обобщенным многочленом по системе функций
.
Определение. Пусть произвольная функция f принадлежит евклидову пространству E. Ставится задача нахождения такого многочлена Фm(x), что расстояние , называемое также среднеквадратичным уклонением многочлена Фm(x) от функции f, минимально. Такой многочлен называется многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения функции f.
Теорема. Если система функций линейно независима, то для любой функции fÎE многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения существует, и притом единственный.
Доказательство.
Найдем вектор (с0,с1,..., сm) такой, чтобы квадратичная форма была минимальной. Для этого продифференцируем квадратичную форму сначала по с1, затем по с2 и т.д. и полученные выражения приравняем к нулю. Получим систему:
Эта система называется нормальной.
По лемме 1 определитель системы, являющийся определителем Грамма линейно независимой системы функций , не равен нулю. Поэтому система имеет только одно решение (с0,с1,..., сm), в которой квадратичная форма достигает минимума.
Определение. В пространстве Ec непрерывных функций со скалярным произведением имеет вид:
а в пространстве En+1 функций, определенных на дискретном множестве со скалярным произведением
среднеквадратичное расстояние задается формулой
Замечание. Близость двух непрерывных функций в смысле среднеквадратичного уклонения, не гарантирует малость их максимального уклонения друг от друга.
Пример.gº0,
y |
x |
a |
b |
n |
f |
![](https://pdnr.ru/poisk-ruru/baza22/8096847596832.files/image851.png)
Среднеквадратичные приближения алгебраическими многочленами.
В качестве системы функций берутся степени x:
. Система этих функций линейно независима в E[a,b] при любом m.
Пример. Построить на отрезке [0,1] многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения Ф1(x)=c0+c1x для функции f(x)= .
Решение. ,
,
,
,
,
,
.
Нормальная система уравнений:
,
и Ф1(x)=
+
x.
Среднеквадратическое уклонение Ф1 от f равно
.
На отр [a,b]
, i=0,1,..., m.
Для дискретного варианта разобрали раньше
Число точек должно быть в 1,5 -2 раза больше.
Применение ортогональных многочленов.
Решение нормальной системы уравнений находится наиболее просто, если система функций является ортогональной. Тогда матрица коэффициентов становиться диагональной и Они называются коэффициентами Фурье по ортогональной системе
.
Пример. Построить на отр [0,1]
системы и их свойства.
Пусть H-гильбертово пространство со скалярным произведением и нормой.
Примеры гильбертовых пространств.
1. H-пространство комплекснозначных функций, определенных на [a,b] с ограниченным интервалом .
Скалярное произведение задается равенством , p>0 почти всюду на [a,b].
(Функции считаются равными, если отличаются друг от друга на множестве меры 0).
2. H-евклидово пространство