Лабораторная работа №3
Способы выявления систематических погрешностей (СП). Неисключенная СП.
Систематической погрешностью называется составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или закономерно меняющаяся при повторных измерениях одной и той же величины. При этом предполагается, что систематические погрешности представляют собой определенную функцию неслучайных факторов, состав которых зависит от физических, конструкционных и технологических особенностей средств измерений, условий их применения, а также индивидуальных качеств наблюдателя.
Систематические погрешности (СП) принято классифицировать:
I. В зависимости от причин возникновения:
1 погрешности метода (теоретические погрешности).
i) недостатки теории метода измерений в целом или допущенные упрощения при проведении измерений.
ii) экстраполяция свойства, измеренного на ограниченной части некоторого объекта (выборочной совокупности), на весь объект (генеральную совокупность), если последний не обладает однородностью измеряемого свойства. Например, при определении плотности вещества по измерениям массы и объема некоторой пробы возникает СП, если проба содержала некоторое количество примесей, а результат измерения принимается за характеристику данного вещества вообще.
iii) влияние измерительной аппаратуры на измеряемые свойства объекта. Например, при регистрации быстропротекающих процессов недостаточно быстродействующей аппаратурой, при измерениях температур жидкостными или газовыми термометрами и так далее.
2 инструментальные погрешности (зависят от погрешностей применяемых средств измерений). Погрешности схемы.
3 непродуманные условия эксперимента. А именно: неправильная установка и взаимное расположение средств измерения, являющихся частью единого комплекса, несогласованность их характеристик, влияние внешних температурных, гравитационных, радиационных и других полей, нестабильность источников питания, несогласованность входных и выходных параметров электрических цепей приборов и так далее.
4 личные погрешности (индивидуальные особенности наблюдателя). Запаздывание или опережение при регистрации сигнала, неправильный отсчет десятых долей деления шкалы, асимметрия, возникающая при установке штриха посередине между двумя рисками.
II. По характеру своего поведения в процессе измерения:
1 постоянные СП. например, при неправильной установке начала отсчета, неправильной градуировке и юстировке средств измерения и остаются постоянными при всех повторных наблюдениях. Трудно обнаружить в результатах наблюдений.
2 переменные СП.
i) прогрессивные. Возникают, например, при взвешивании, когда одно из коромысел весов находится ближе к источнику тепла, чем другое, поэтому быстрее нагревается и удлиняется. Это приводит к систематическому сдвигу начала отсчета и к монотонному изменению показаний весов.
ii) периодические. Присуща измерительным приборам с круговой шкалой, если ось вращения указателя не совпадает с осью шкалы.
III. Все остальные виды СП принято называть погрешностями, изменяющимися по сложному закону.
Совершенствование методов измерения, использование высококачественных материалов, прогрессивная технология - все это позволяет на практике устранить СП настолько, что при обработке результатов наблюдений с их наличием зачастую не приходится считаться.
В тех случаях, когда при создании средств измерений, необходимых для данной измерительной установки, не удается устранить влияние СП, приходится специально организовывать измерительный процесс и осуществлять математическую обработку результатов для полной или частичной их компенсации.
Алгоритм математической обработки неисправленных данных.
Результаты наблюдений, полученные при наличии СП будем называть неисправленными и обозначать их штрихами (X1′, X2′, …, Xi′ и т.д.).
Неисправленное среднее значение: 
, (3.1а)
Неисправленное случайное отклонение 
(3.1b)
Суммарная СП для i -го наблюдения qi,
СП неисправленного среднего арифметического Q
Математическое ожидание ряда неисправленных измерений не совпадает с истинным значением измеряемой величины Q на величину Q. Действительно:
, (3.2)
где - истинное значение измеряемой величины.
(3.3)
Разница неисправленного и исправленного случайных отклонений:
(3.4)
Вывод: если систематические погрешности постоянные (Q = qi), то Vi’ = Vi и неисправленные отклонения также можно использовать для оценки СКО ряда наблюдений. В противном случае следует вводить поправки с противоположным знаком: q = -qi.
Способы обнаружения СП
Если неисправленные отклонения результатов наблюдений резко изменяются при изменении условий наблюдения, то данные результаты содержат постоянную систематическую погрешность, которая зависит от условий наблюдения. Постоянные СП иных типов (см. классификацию) не влияют на значения случайных отклонений результатов наблюдений от средних арифметических, поэтому никакая математическая обработка результатов наблюдений не может привести к их обнаружению. Анализ таких погрешностей возможен только на основании некоторых априорных знаний об этих погрешностях, получаемых, например, при поверке средств измерений. Измеряемая величина при поверке обычно воспроизводится образцовой мерой, действительное значение которой известно. Поэтому разность между средним арифметическим результатов наблюдения и значением меры с точностью, определяемой погрешностью аттестации меры и случайными погрешностями измерения, равна искомой систематической погрешности.
Одним из наиболее действенных способов обнаружения СП в ряде результатов наблюдений является графический метод: построение графика последовательности неисправленных значений случайных отклонений результатов наблюдений от средних арифметических (см. рис. 3.1.). В данном случае Q изменяется по линейному закону и, в общем случае, имеет вид зависимости Q = kx + b. Если последовательность знаков плюс сменяется последовательностью знаков минус или наоборот, то данный ряд результатов наблюдений обнаруживает прогрессивную погрешность, если группы знаков плюс и минус чередуются - периодическую погрешность.
 | |||
| |||
Рис. 3.1.
Для исправления результата наблюдения неисправленные результаты X i ′ складывают только со средним арифметическим значением поправки
X = X i ′ + q (3.5)
Поправку определяют экспериментально при поверке приборов или в результате специальных исследований, обыкновенно с некоторой ограниченной точностью.Поправки могут задаваться также в виде формул, по которым они вычисляются для каждого конкретного случая. Например, при измерениях и поверках с помощью образцовых манометров следует вводить поправки к их показаниям на местное значение ускорения свободного падения.
После введения всех возможных поправок остается только не исключенная систематическая погрешность (НСП).
Задача 3.1. Определить систематическую погрешность и вычислить найденную границу случайной погрешности для Р = 0,95 по результатам метрологической аттестации ртутного термометра инспекторским (шаблонным) термометром (см. таблицу). Построить график зависимости погрешности от показаний шаблонного термометра t0.
| t0,0C | t0i,0C | Qi = t0i - to | Vi | Vi2 |
| 0,2 5,3 10,35 15,25 20,40 25,35 30,25 35,45 40,35 45,25 50,25 | 0,2 0,3 0,35 0,25 0,40 0,35 0,25 0,45 0,35 0,25 0,25 | -0,11 -0,01 0,04 -0,06 0,09 0,04 -0,06 0,14 0,04 -0,06 -0,06 | 0,0121 0,0001 0,0016 0,0036 0,0081 0,0016 0,0036 0,0196 0,0016 0,0036 0,036 | |
| S Vi2 = 0,0591 |
Решение:
1. Находим систематическую погрешность измерения:
2. Находим случайные составляющие погрешности измерения:
Vi = qi - Q.
3. Находим средне квадратичное отклонение (СКО) результата измерений:
4. Определяем надежную границу случайной погрешности (интервал) для Р= 0,95. Для этого находим коэффициент Стьюдента для соответствующего числа степеней свободы k по Таблице 1 Приложения:
k = n – 1 = 10;
tp = 2,228;
d = tp × S to I = 2,228 × 0,02 @ 0,040C.
5. Находим значение поправки: q = – Q = – 0,310С.
6. Надежная граница доверительного интервала случайной погрешности:
d = ±0,040С (Р = 0,95; n = 11).
6. Строим график зависимости Q (t 0) (см. Рисунок 3.2):
Рис. 3.2
Неисключённая систематическая погрешность.
Введением поправки устраняется влияние только одной вполне определенной систематической погрешности, поэтому в результаты измерения зачастую приходится вводить очень большое число поправок. При этом вследствие ограниченной точности определения поправок накапливаются случайные погрешности и дисперсия результата измерения увеличивается: при исправлении неисправленного результата путем введения поправок по формуле
Xi = Xi′ + ∑qj (3.5)
дисперсия становится равной Sx2 = Sx′2 + ∑S j 2 (3.6)
где S x′ 2 – оценка дисперсии неисправленных результатов; S j 2 – оценка дисперсии j-й поправки.
Поправку имеет смысл вводить до тех пор, пока она уменьшает доверительные границы погрешности, т.е. пока выполняется неравенство
q > 0,5·(Sx′2/ S j 2) (3.7)
Погрешность результата выражается не более чем двумя значащими цифрами, поэтому поправка, если она меньше пяти единиц разряда, следующего за последним десятичным знаком погрешности результата, будет все равно потеряна при округлении, и вводить ее не имеет смысла.
СП, которая остаётся после введения поправок на ее наиболее существенные составляющие, включает в себя ряд элементарных составляющих, называемых неисключенными остаткамиСП. К их числу относятся:
1. погрешности определения поправок;
2. погрешности, зависящие от точности измерения влияющих величин, входящих в формулы для определения поправок;
3. погрешности, связанные с колебаниями влияющих величин (температуры окружающей среды, напряжения питания и т.д.).
Перечисленные погрешности малы и поправки на них не вводятся.
Для каждого данного измерения элементарные составляющие систематической погрешности имеют вполне определенные значения, но эти значения нам неизвестны. Известно лишь, что в массе однотипных измерений эти составляющие лежат в определенных границах ±qkmax или имеют определенные средние квадратические отклонения Sq k. В первом случае для неисключенных остатков следует принять равномерное распределение, во втором – нормальное. Дисперсия суммы неисключенных остатков систематической погрешности определяется как сумма их дисперсий и поэтому
m1 m2
D[q] = Sq2 = 
∑qkmax2 + ∑Sqk2 (3.7)
k = 1 k = 1
где m1– число равномерно распределенных и m2 – число нормально распределенных элементарных составляющих.