Решение задачи
1. Скорость точки вращающегося тела можно найти по формуле
v = ωR.
2. Но известно, что ω = πn/30.
3. Поэтому v = πnR/30.
4. Подставим сюда R=d/2=0,06/2=0,03 м и n=1200 об/мин:
v = πnR/30 = 3,14*1200*0,03/30 = 3,77 м/сек.
Вал вращается равномерно, значит скорость точек остается численно неизменной. По этой же причине у точек отсутствует касательное ускорение.
5. Нормальное ускорение найдем из формулы
an = v2/R = 3,772/0,03 = 474 м/сек2, которое также в данном случае остается по модулю неизменным.
Задача 163.
Дисковая пила 1 имеет диаметр 600 мм. На валу пилы насажен шкив 2 диаметром 300 мм, а шкив соединен бесконечным ремнем со шкивом двигателя 3...
Дисковая пила 1 имеет диаметр 600 мм. На валу пилы насажен шкив 2 диаметром 300 мм, а шкив соединен бесконечным ремнем со шкивом двигателя 3 (рис. 207) диаметром 120 мм. С какой угловой скоростью должен вращаться шкив двигателя, чтобы скорость зубьев пилы не превышала 15 м/сек?
|
Решение задачи
1. Так как пила 1 и шкив 2 насажены на одном валу, то они имеют одну и ту же угловую скорость ωп и скорость зубьев пилы vз=15 м/сек зависит от ωп:
vз = ωпR или vз = ωпdп/2,
потому что
R = dп/2.
2. Находим угловую скорость шкива 2, который обеспечивает необходимую рабочую скорость зубьев пилы:
ωп = 2vз/dп = 2*15/0,6 = 50 рад/сек (dп = 600 мм = 0,6 м).
3. Теперь найдем угловую скорость ωд шкива двигателя.
Шкивы 2 и 3 соединены бесконечным ремнем. Полагая, что ремень не растягивается и не проскальзывает на шкивах, можно считать, что все его точки движутся с одной и той же скоростью vр. Это означает, что скорости точек, расположенных на поверхностях обоих шкивов, одинаковы и равны vр.
Поэтому применим зависимость v=ωR:
vр = ωпd2/2 = ωдd3/2.
Отсюда
ωд = ωпd2/d3 = 50*300/120 = 125 рад/сек.
4. Если перевести эту угловую скорость в об/мин, то
nд = 30*ωд/π = 30*125/3,14 ≈ 1200 об/мин.
Таким образом, для того чтобы зубья пилы имели скорость 15 м/сек, шкив двигателя должен вращаться с угловой скоростью 125 рад/сек или 1200 об/мин.
* Полученное отсюда отношение угловых скоростей, численно равное обратному отношению их диаметров ωд/ωп=d2/d3, называют передаточным числом ременной передачи.
Равнопеременное вращательное движение
Вращательное движение с переменной угловой скоростью называется неравномерным. Если же угловое ускорение ε=const, то вращательное движение называется равнопеременным. Таким образом, равнопеременное вращение тела – частный случай неравномерного вращательного движения.
Уравнение равнопеременного вращения
φ = φ0 + ω0t + εt2/2 (1)
и уравнение, выражающее угловую скорость тела в любой момент времени,
ω = ω0 + εt (2)
представляют совокупность основных формул вращательного равнопеременного движения тела.
В эти формулы входят всего шесть величин: три постоянных для данной задачи φ0, ω0 и ε и три переменных φ, ω и t. Следовательно, в условии каждой задачи на равнопеременное вращение должно содержаться не менее четырех заданных величин.
Для удобства решения некоторых задач из уравнений (1) и (2) можно получить еще две вспомогательные формулы.
Исключим из (1) и (2) угловое ускорение ε:
φ = φ0 + (ω + ω0)t/2 (3)
Исключим из (1) и (2) время t:
φ = φ0 + (ω2 - ω02)/(2ε) (4)
В частном случае равноускоренного вращения, начавшегося из состояния покоя, φ0=0 и ω0=0. Поэтому приведенные выше основные и вспомогательные формулы принимают такой вид:
φ = εt2/2; (5)
ω = εt; (6)
φ = ωt/2; (7)
φ = ω2/(2ε). (8)
Задача 167. Маховик, вращающийся с угловой скоростью n0=90 об/мин, с некоторого момента начинает вращаться равноускоренно и через 1,5 мин достигает угловой скорости nк=150 об/мин. Определить угловое ускорение маховика. Сколько всего оборотов делает маховик за 1,5 мин? Какую скорость имеют точки на цилиндрической поверхности маховика через 45 сек после начала равноускоренного движения, если диаметр маховика 1,2 м?
Задача 169. Колесо, вращающееся со скоростью 1500 об/мин, при торможении начинает вращаться равнозамедленно и через 30 сек останавливается. Определить угловое ускорение и число оборотов колеса с момента начала торможения до остановки.
