ДВУХМЕРНЫЕ И ТРЕХМЕРНЫЕ СИСТЕМЫ
Двухмерные и трехмерные системы совершают поступательное и вращательное движения. Например, электрон в атоме, связанный кулоновской силой с положительным зарядом ядра, вращается вокруг общего центра масс. Свободный электрон также может иметь неравный нулю угловой момент, когда его волновая поверхность вращается вокруг вектора скорости, образуя вихрь. В этом случае максимум вероятности обнаружения электрона перемещается по винтовой линии, на ее оси вероятность обнаружения электрона равна нулю благодаря центробежной силе. При отсутствии осевой скорости вероятность распределена по кольцу равномерно, и центр масс неподвижен. Такое вращение классической частицы без центростремительной силы запрещено теоремой о центре масс изолированной системы, согласно которой центр масс изолированной системы, на которую не действуют внешние силы, может двигаться лишь равномерно и прямолинейно, или покоиться.
В классической механике динамика вращательного движения описывается вектором момента импульса
.
В декартовых координатах вектор имеет проекции и квадрат модуля
,
,
,
. (4.1)
Формулы переходят друг в друга при циклической перестановке координат
.
Операторы момента импульса
В квантовой механике вращение описывается операторами момента импульса, их собственными функциями и собственными значениями. Основные соотношения рассматривались в курсе «Методы математической физики», поэтому далее дается лишь обзор основных результатов.
Декартовые координаты. По правилу соответствия между классическими и квантовыми соотношениями величины в (4.1) заменяются операторами, тогда оператор момента импульса
, (4.2)
где с учетом
, , ,
операторы декартовых проекций момента импульса
,
;
, (4.3)
Оператор квадрата момента импульса
. (4.4)
Операторы эрмитовые
, . (4.5)
Доказательство (4.5) выносится на практическое занятие.
Перестановочные соотношения следуют из (4.3) с учетом
, , ,
И имеют вид
,
,
,
. (4.6)
Из следует, что квадрат модуля и проекция на декартовую ось измеримы одновременно с неограниченной точностью, наборы их собственных функций совпадают. Собственные значения этих операторов – орбитальное число l и магнитное число m описывают вращательное состояние частицы.
Сферические координаты связаны с декартовыми координатами .
; ; ,
,
,
,
Операторы в сферических координатах имеют вид
, (4.7)
. (4.8)
Оператор Лапласа в сферических координатах распадается на радиальную и угловую части
. (4.9)
Угловая часть содержит квадрат момента импульса . Радиальная часть оператора Лапласа
(4.10)
выражается через радиальный импульс
. (4.11)
Выполняется
, . (4.12)
Доказательство соотношений (4.10) – (4.12) выносится на практические занятия.
Повышающий и понижающий операторы
(4.13)
ступенчато изменяют собственные функции и собственные значения оператора и удовлетворяют соотношениям
,
, (4.14)
, (4.15)
. (4.16)
Оператор поворота поворачивает углового состояния частицы вокруг оси z на угол a
. (4.17)
Получим выражение оператора, разлагая в ряд Тейлора и учитывая (4.7)
= .
Сравниваем с (4.17), находим
. (4.18)
где .
Обобщаем (4.18) на случай поворота вокруг единичного вектора n на угол a, отсчитываемый по правилу правого винта, получаем
, (4.19)
где оператор момента импульса является генератором поворота состояния частицы.
Сферическая функция
Сферическая функция является собственнойфункцией взаимно коммутирующих операторов и
, (4.20)
, (4.21)
где – магнитное квантовое число, определяет проекцию орбитального момента L на ось z
.
Орбитальное квантовое число определяет модуль орбитального момента L
. (4.22)
Состояния обозначаются в спектроскопии буквами s, p, d, f от англ. sharp – резкий, principal – главный, diffuse – расплывчатый, fundamental – фундаментальный.
Количество проекций L на ось z равно числу возможных значений , в результате число проекций
.
Направление L определяется углом θ с осью z. Угол квантуется
. (4.23)
Пространственное квантование при l = 3
Вектор L не может быть направлен вдоль оси z, поскольку максимальная проекция вектора не может превышать его модуль
,
тогда из (4.23) находим
, .
Физическая причина в том, что определенность приводит к неопределенностям некоммутирующих с ним и , которые дают вклад в , поэтому .
Из (4.15)
и (4.21)
получаем
.
Следовательно, операторы переводят состояние с собственным значением m в состояния с собственными значениями , то есть повышает у состояния число m на единицу, а понижает на единицу.
Выполняется
, (4.24)
полученное в курсе «Методы математической физики».
Выражение для сферической функции . В сферических координатах изменения углов θ и φ происходят независимо, поэтому функция состояния факторизуется
.
В уравнение на собственную функцию (4.21)
подставляем оператор (4.7)
получаем уравнение
. (4.25)
Накладываем условие периодичности
. (4.26)
Из (4.25) и (4.26) получаем
, (4.27)
Условие периодичности (4.26) привело к квантованию числа m. На основании
функции , где , удовлетворяют условию ортонормированности
. (4.28)
Для оператора квадрата момента импульса (4.8)
уравнение на собственную функцию (4.20)
дает дифференциальное уравнение
.
Решение в виде
с учетом (4.27)
приводит к уравнению для
. (4.29)
Уравнение совпадает с уравнением для присоединенных функций Лежандра , тогда ,
.
Постоянный множитель определяется из условия нормировки
, .
В результате
. (4.30)
Выполняются
, (4.31)
, ,
, (4.32)
и условие ортонормированности
. (4.33)
Инверсия координат соответствует замене
, ,
тогда
. (4.34)
Четность состояния, описываемого сферической функцией, совпадает с четностью орбитального числа l.