Объяснение нового материала
Определение. Функция вида называется показательной функцией.
Замечание. Исключение из числа значений основания a чисел 0; 1 и отрицательных значений a объясняется следующими обстоятельствами:
a = 0 | Выражения вида 0 x определено при x > 0 и в этом случае тождественно равно нулю. |
a = 1 | Выражение 1 x определено при всех x, имеет постоянное значение (тождественно единице). |
a < 0 | Возможно возведение в целую степень или в рациональную степень с нечётным знаменателем. |
Само аналитическое выражение ax в указанных случаях сохраняет смысл и может встречаться в решении задач. Например, для выражения xy точка x = 1; y = 1входит в область допустимых значений.
Построить графики функций: у = (0.5)^x и y = 2^x.
у = (0.5)^x | |
График показательной функции | |
y = a x, a > 1 | y = a x, 0< a < 1 |
Свойства показательной функции
Свойства показательной функции | y = a x, a > 1 | y = a x, 0< a < 1 |
1. Область определения функции | ||
2. Область значений функции | ||
3.Промежутки сравнения с единицей | при x > 0, a x >1 | при x > 0, 0< a x < 1 |
при x < 0, 0< a x < 1 | при x < 0, a x >1 | |
4. Чётность, нечётность. | Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида). | |
5.Монотонность. | монотонно возрастает на R | монотонно убывает на R |
6. Экстремумы. | Показательная функция экстремумов не имеет. | |
7.Асимптота | Ось O x является горизонтальной асимптотой. | |
8. При любых действительных значениях x и y; |
Когда заполняется таблица, то параллельно с заполнением решаются задания.
Задание № 1. (Для нахождения области определения функции).
Какие значения аргумента являются допустимыми для функций:
Задание № 2. (Для нахождения области значений функции).
На рисунке изображен график функции. Укажите область определения и область значений функции:
Задание № 3. (Для указания промежутков сравнения с единицей).
Каждую из следующих степеней сравните с единицей:
Задание № 4. (Для исследования функции на монотонность).
Сравнить по величине действительные числа m и n если:
Вывод:
при x < 0 | чем больше значение основания степени, тем ближе к оси O x располагается график показательной функции; |
при x = 0 | графики показательных функций пересекаются в одной точке (0;1); |
при x > 0 | чем больше значение основания степени, тем дальше от осиO x располагается график показательной функции. |
В одной координатной плоскости построены графики функций:
y(x) = (0,1)x; f(x) = (0,5)x; z(x) = (0,8)x.
Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?
Вывод:
при x < 0 | чем меньше значение основания степени, тем дальше от оси O x располагается график показательной функции; |
при x = 0 | графики показательных функций пересекаются в одной точке (0;1); |
при x > 0 | чем меньше значение основания степени, тем ближе к осиO x располагается график показательной функции. |
Число одна из важнейших постоянных в математике. По определению, оно равно пределу последовательности при неограниченномвозрастании n. Обозначение e ввёл Леонард Эйлер в 1736 г. Он вычислил первые 23 знака этого числа в десятичной записи, а само число назвали в честь Непера «неперовым числом». Число e играет особую роль в математическом анализе. Показательная функция с основанием e, называется экспонентой и обозначается y = ex. Первые знаки числа e запомнить несложно: два, запятая, семь, год рождения Льва Толстого - два раза, сорок пять, девяносто, сорок пять. |
Домашнее задание:
Колмогоров п. ____________________________________________
Повторить алгоритм построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля