Лекция 3
Прямая в
Векторное уравнение прямой в пространстве имеет вид:
, ,
где произвольный (текущий) вектор прямой , базисный (направляющий) вектор прямой . Вектор параллелен прямой , вектор сдвига, его конечная точка принадлежит прямой ; некоторое число. Если переменная пробегает весь интервал , то точка - конец вектора пробегает всю прямую . Таким образом, уравнение |
прямой полностью определяется заданием базисного вектора и вектора сдвига .
Переходя в равенстве к координатам, получим параметрические уравнения прямой :
Плоскость в
При решении задач на составление уравнения плоскости рекомендуется пользоваться планом: 1) из условия задачи определим координаты какой - нибудь точки , принадлежащей плоскости . |
введем текущую (произвольную) точку плоскости и вычислим текущий вектор , . Далее возможен один из следующих случаев:
1 случай: из условия задачи нашли вектор перпендикулярный плоскости (, такой вектор называется нормалью плоскости ). В этом случае векторное уравнение плоскости будет иметь вид (условие перпендикулярности двух векторов и :
переходим в к координатам, получим
- уравнение плоскости , проходящей через точку перпендикулярно вектору .
2 случай из условия задачи мы нашли два вектора и параллельных плоскости , но не параллельных между собой (такие векторы и называются также базисными векторами плоскости ). В данном случае уравнение плоскости будет иметь вид (условие линейной зависимости трех векторов , и ):
или в координатной форме:
- уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно двум базисным векторам и .
Если раскрыть скобки в уравнении или определитель в уравнении и упростить, то получится общее уравнение плоскости :
Геометрический смысл чисел A,B,C состоит в том, что вектор будет перпендикулярен плоскости.
Взаимное расположение двух плоскостей
Пусть относительно общей декартовой системы координат заданы две плоскости a: и b: .
1. . плоскости a и b пересекаются.
2. плоскости a и b совпадают.
3. Þ aççb.
Расстояние от точки до плоскости
Угол между двумя плоскостями
Лекция 4
Прямая в .
| Уравнения прямой линии в параметрической форме нам уже известны (см. пункт 1, формула (2)). Но в случае, когда прямая лежит в пространстве ,есть более удобныеуравнения прямой, которые будем использовать при решении задач. |
1.Общим уравнением прямой называется уравнение вида
Как и в случае плоскости можно показать, что если то , а если , то и вектор .
2.Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
.
Геометрический смысл числа состоит в том, что , где - угол, образованный с положительным направлением .
Пусть заданы две прямые
и
Тогда:
то есть у параллельных прямых угловые коэффициенты равны.
то есть у перпендикулярных прямых угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку(Действительно, так как и , то
3. Уравнение пучка прямых проходящих, через точку , записывается в виде:
4. Уравнение прямой, проходящей через две точки и , имеет вид:
или .
Взаимное расположение прямых
Пусть относительно общей декартовой системы координат заданы две прямые: и .
Þ или или – условие пересечения двух прямых на плоскости.
– условие совпадения двух прямых на плоскости.
Þ или – условие параллельности двух прямых на плоскости.