Содержание лекции: Частные производные функции нескольких переменных. Дифференцируемость и дифференциал функции.
Линеаризация функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Производные и дифференциалы высших порядков.
1. Частные производные ФНП *)
Рассмотрим функцию и = f (P), РÎDÌR n или, что то же самое,
и = f (х 1, х 2,..., хп).
Зафиксируем значения переменных х 2,..., хп, а переменной х 1 дадим приращение D х 1. Тогда функция и получит приращение , определяемое равенством
= f (х 1+D х 1, х 2,..., хп) – f (х 1, х 2,..., хп).
Это приращение называют частным приращением функции и по переменной х 1.
Определение 7.1. Частной производной функции и = f (х 1, х 2,..., хп) по переменной х 1 называется предел отношения частного приращения функции к приращению аргумента D х 1 при D х 1® 0 (если этот предел существует).
Обозначается частная производная по х 1 символами
, , , , .
Таким образом, по определению
Аналогично определяются частные производные по остальным переменным х 2,..., хп. Из определения видно, что частная производная функции по переменной хi – это обычная производная функции одной переменной хi, когда остальные переменные считаются константами. Поэтому все ранее изученные правила и формулы дифференцирования могут быть использованы для отыскания производной функции нескольких переменных.
Например, для функции u = x 3 + 3 xy – z 2 имеем
Таким образом, если функция нескольких переменных задана явно, то вопросы существования и отыскания ее частных производных сводятся к соответствующим вопросам относительно функции одной переменной – той, по которой необходимо определить производную.
Рассмотрим неявно заданную функцию. Пусть уравнение F(x, y) = 0 определяет неявную функцию одной переменной х. Справедлива
Теорема 7.1.
Пусть F(x 0, y 0) = 0 и функции F(x, y), F¢ х (x, y), F¢ у (x, y) непрерывны в некоторой окрестности точки (х 0, у 0), причем F¢ у (x 0, y 0) ¹ 0. Тогда функция у, заданная неявно уравнением F(x, y) = 0, имеет в точке (x 0, y 0) производную, которая равна
.
Если условия теоремы выполняются в любой точке области DÌ R2, то в каждой точке этой области .
Например, для функции х 3 –2 у 4 + ух + 1 = 0 находим
.
Пусть теперь уравнение F(x, y, z) = 0 определяет неявную функцию двух переменных. Найдем и . Так как вычисление производной по х производится при фиксированном (постоянном) у, то в этих условиях равенство F(x, y =const, z) = 0 определяет z как функцию одной переменной х и согласно теореме 7.1 получим
.
Аналогично .
Таким образом, для функции двух переменных, заданной неявно уравнением , частные производные находят по формулам: ,
Рассмотрим функцию z = f (x, y). Пусть существуют производные = fх ¢(x, y) и = fу ¢(x, y). Так как эти производные сами являются функциями двух переменных, то можно поставить вопрос об их частных производных. Если такие производные существуют, то их называют частными производными второго порядка от функции z = f (x, y) и обозначают
, , , .
Производные и называются смешанными производными второго порядка. Наряду с приведенными обозначениями используются также обозначения
, , , .