Другая идея выигрышной стратегии в играх — дополнение хода соперника до некоторого фиксированного числа, уменьшая каждым «совместным» ходом (т. е. ход первого и второго игрока) общее число элементов на некоторое постоянное число, что сводит игру к игре с меньшим числом элементов, т. е. более простой. Понятно, что победа в данной стратегии зависит от общего количества данных по условию элементов.
Рассмотрим пример такой стратегии на конкретной задаче.
6). Двое играют в игру. Ходы, которые делаются по очереди, заключаются в том, что из кучки в 50 камней убирается любое число камней от 1 до 5. Выигрывает тот, кто возьмет последний камень. Кто выиграет в данной игре?
Решение. И опять выработку стратегии лучше начинать с небольшого числа камешков. Понятно, что если в нашей кучке меньше шести камней, тогда выиграет первый игрок: он первым своим ходом заберет все камни.
Если бы в нашей кучке было 6 камешков, тогда понятно, что второй выиграет, так как он забрал бы все оставшиеся камни после первого хода начинающего.
Если камней семь? Что делать тогда первому? Ему нужно забрать один камень и свести задачу к предыдущему случаю. Аналогично надо выработать стратегию игры и для 7, 8, 9,10,11 камней.
Когда камней 12, то понятно, что выиграет второй: как бы первый не ходил, он своим ходом может взять такое количество камней, чтобы осталось ровно 6. А в этом случае он выигрывает, как мы уже разобрали.
Итак, если число камней делится на 6, то выигрывает второй, если не делится, то первый. Докажем это.
Пусть у нас 6 t камней. После первого хода игрока, начинающего игру, второй делает ход, после которого остается 6 t - 6 камней, т. е. число камней в кучке уменьшилось на 6. Несложно понять, что последний камень возьмет игрок, делающий второй ход, и также понятно, что у него всегда есть возможность сделать ход.
Пусть у нас 6t+a, где 1 < а < 5, камней. Тогда начинающий первым своим ходом убирает все, что «мешает», т. е. а камней, и остается всего 6 t камней, т. е. сводит игру к рассматриваемому выше случаю, где он уже второй игрок. Значит в этом случае побеждает игрок, делающий первый ход.
В нашей задаче 50 камней. Поэтому выигрывает первый, беря из кучки два камня и оставляя 48 камней. Далее после его последующих ходов в кучке будет оставаться соответственно 42, 36, 30, 24, 18, 12, 6, 0, таким образом последний камень забирает первый игрок.
Рассмотрим следующую задачу.
7). Двое играют в игру, которая заключается в прибавлении к нулю любого натурального числа, не превышающего пяти. Выигрывает тот, кто скажет число 50. Кто выиграет в данной игре?
Решение. Мы видим, что игра совершенно аналогична рассматриваемой выше, только там убираются камни, а здесь добавляются числа, т. е. игра идет как бы в обратном порядке.
Начинающий первым ходом говорит число 2, и при каждом следующем ходе будет говорить число, которое больше предыдущего (т. е. сказанному им на предыдущем ходу) ровно на 6. Итак на втором ходу он говорит число 8, на третьем - 14,..., на девятом - 50.
Второй игрок не сможет помешать начинающему, так как максимальное число, которое он может прибавить к сказанному первым игроком — это 5, а минимальное - это 1 (а разность между числами, произносимыми первым, - 6).
Теперь рассмотрим задачу в общем виде и найдем «правило», позволяющее выбрать правильную стратегию при решении задачи..
Пусть лежат k камней. Играют двое, ходят по очереди. За один ход можно брать любое число камней от 1 до t. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
Найдем остаток от деления k на t + 1. Обозначим его a.
· Пусть a ≠ 0. Первый игрок первым ходом должен взять a камней. Второй игрок будет брать за один ход любое количество камней от 1 до t, тогда первый игрок своими ходами должен дополнять ходы противника до t + 1. И тогда последний камень обязательно заберет первый игрок, а значит выиграет. Действительно, если от k отнять a, то получим число, которое нацело делится на t + 1. За один ход второй и первый игроки берут вместе t + 1 камень, причем последним берет первый игрок. Так как k – a нацело делится на t + 1, то первый игрок выиграет.
· Пусть a = 0, тогда по сравнению с предыдущим случаем игроки как бы поменялись местами (число уже сразу нацело делится на t + 1), а поэтому выигрывает второй игрок.
И еще некоторые задачи:
8). Двое играют в такую игру: за один ход игрок может прибавить к имеющемуся числу любую из девяти ненулевых цифр, от 1 до 9, и сообщить получившуюся сумму своему партнеру, который делает аналогичный ход. Вначале дано число 0. Выиграет тот, кто первым получит в сумме а) 100; б) 66. Кто выигрывает при правильной игре? Как нужно играть, чтобы выиграть?
(Эта игра содержится в собрании задач по «занимательной» математике, составленном Баше в 1612г.)
Решение: а) Выигрывает второй, так как он может называть числа, которые будут делиться на 9 + 1 = 10, т.е. при своем ходе завершать каждый десяток.
б) Понятно, что сейчас выигрышная стратегия есть уже у первого игрока. Остаток от деления числа 66 на 9 + 1 = 10 равен 6. Первый игрок первым ходом должен назвать число 6, а потом последующими ходами будет называть числа, оканчивающиеся на 6. После седьмого хода им будет названо число 66.
9). На столе лежат 15 карандашей. Двое берут по очереди один, два или три карандаша. Проигрывает тот, кому достанется взять последний карандаш. Как должен играть начинающий, чтобы заставить своего противника взять последний карандаш?
Решение. Остаток от деления числа 15 на 3 + 1 = 4 равен 3. Начинающему надо, добиться того, чтобы последний карандаш взял противник, поэтому первым ходом он должен взять не 3 карандаша (остаток от деления), а 2 (1 карандаш – противнику!) Затем каждым последующим ходом будет дополнять количество карандашей, взятых вторым игроком, до 4.
После первого хода 1 -го игрока на столе останется 13 карандашей, после второго хода — 9, после третьего — 5, после четвертого — 1. Следовательно, последний карандаш берет второй игрок.