ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1
Вычисление производных.
Цель: - повторить правила и формулы вычисления производных;
- закрепить навыки вычисления производных.
Теоретический материал.
Пусть величина у зависит от аргумента х как у = f(x). Если f(x) была зафиксирована в двух точках значениях аргумента: x1, x2, то мы получаем величины у1 = f(x1), и у2 = f(x2). Разность двух значений аргумента x 2, x 1 назовём приращением аргумента и обозначим как Δ x = x 2- x 1. Если аргумент изменился на Δ x = x 2- x 1, то функция изменилась (приросла) как разность двух значений функции
у1 = f(x1), у 2 = f(x2) на величину приращения функции Δf. Записывается обычно так:
Δ f = у1 – у2 = f(x2 ) - f(x1). Считается, что если величины x2 и x1, бесконечно близки по величине друг к другу, тогда Δ x = x2 – x 1, - бесконечно мало.
Производной функции f(x) в точке x 0 называется предел отношения приращения функции Δ f в этой точке к приращению аргумента Δ х, когда последнее стремится к нулю (бесконечно мало).
Нахождение производной называется дифференцированием. Функция f, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на данном промежутке.
Правила дифференцирования (и, v, w — функции аргумента х, по которому
производится дифференцирование, с - постоянная).
1. Производная алгебраической суммы
2. Производная произведения
3. Производная частного (дроби)
4. Производная сложной функции (функции от функции).
Если
Таблица основных формул дифференцирования
№ п/п | Функция | Производная | № п/п | Функция | Производная | № п/п | Функция | Производная |
C (постоянная) | ex | ex | ctg x | |||||
(n – постоянная) | arcsin x | |||||||
x | ln x | arccos x | ||||||
sin x | cos x | arctg x | ||||||
cos x | –sin x | arcctg x | ||||||
ax, (a > 0) | ax ln a | tg x | lg x |
Порядок выполнения работы.
1)Изучите примеры нахождения производных.
Пример 1. Найдите производную функции:
1) ; 2) 3)
Решение 1) 2) Учитывая, что ; имеем 3) Учитывая, что имеем | Пояснения В задании 1 надо найти производную суммы по формуле ; в задании 2 – производную произведения в задании 3 – производную частного Также в заданиях 1 и 2 следует использовать формулу , а в задании 2 учесть, что при вычислении производной 2 x постоянный множитель 2 можно вынести за знак производной. |
Пример 2. Вычислите значение производной функции в точках х = 4 и х = 0,01.
Решение | Пояснения Для нахождения производной в указанных точках достаточно найти производную данной функции и в полученное выражение подставить заданные значения аргумента. При вычислении производной следует учесть, что заданную разность можно рассматривать, как алгебраическую сумму выражений х 2 и , а при нахождении производной за знак производной вынести постоянный множитель (- 5). |
Пример 3. Найдите значения х, при которых производная функции равна 0.
Решение Тогда Ответ: х = 2. | Пояснения Чтобы найти соответствующие значения х, достаточно найти производную данной функции, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение. |
Пример 4. Найдите производную функции:
1) 2)
Решение 1) Учитывая, что получаем | Пояснения В заданиях 1 и 2 необходимо найти соответственно производную степени и корня, но в основании степени и под знаком корня стоит не аргумент х, а выражение с этим аргументом (тоже функция от х). Следовательно, необходимо найти производные сложных функций. |
2) Выполните задания.
1 вариант
Уровень.
1) Найти соответствие между функцией и её производной.
1. С | 2. | 3. х | 4. | 5. | 6. |
7. | 8. | 9. | 10. | 11. | 12. |
13. | 14. | 15. | 16. | 17. | 18. |
19. | 20. | 21. | 22. | 23. | 24. |
25. | 26. | 27. | 28. | 29. | 30. |
31. | 32. | 33. | 34. | 35. | 36. |
2) Сопоставьте функции её производную.
Функция | Производная | |||
2 х | -2 cos x sin x | cos(x +2) | ||
x 2 + 1 | ||||
sin(x + 2) | ||||
ln x | ||||
cos2 x |
Уровень.
3) Вычислите производную функции:
1) у = ; а) х 6; б) ; в) 7 х 7.
2) у = х 3 + 5 ; а) 4 х 2 +5 ; б) 3 x 2 + ; в) 3 х 2 + .
3) у = ; а) х - 4; б) ; в) .
4) у = ; а) ; б) - ; в) .
4) Вычислите значение производной функции у = при х = 7.
а | б | в | г |
Уровень.
5) Вычислите производную сложной функции f(x) = .
2 вариант
Уровень.
1) Найти соответствие между функцией и её производной.
1. С | 2. | 3. х | 4. | 5. | 6. |
7. | 8. | 9. | 10. | 11. | 12. |
13. | 14. | 15. | 16. | 17. | 18. |
19. | 20. | 21. | 22. | 23. | 24. |
25. | 26. | 27. | 28. | 29. | 30. |
31. | 32. | 33. | 34. | 35. | 36. |
2) Сопоставьте функции её производную
Функция | Производная | |||
5 х 4 | 2 cos x sin x | - sin (x - 6) | ||
x 5 + 1 | ||||
cos(x -6) | ||||
log 2 x | ||||
sin2 x |
Уровень.
3) Вычислите производную функции:
1) у = ; а) х 4; б) ; в) 5 х 5.
2) у = х 7 + 3 ; а) 7 х 6 +3 ;б) 7 x 6 + ; в) 7 х 6 + .
3) у = ; а) х - 5; б) ; в) .
4) у = ; а) ; б) ; в) .
4) Вычислите значение производной функции у = при х = 0.
а | б | в | г |
1,5 | -2 |
Уровень.
5) Вычислите производную сложной функции f(x) = .