Если в начальный момент времени в пространстве находился электрон в состоянии и один нейтрон, то волновая функция системы в представлении взаимодействия имела вид . Через обозначена волновая функция вакуумного состояния системы. После процесса рассеяния по истечении времени волновая функция системы окажется равной
, .
Согласно теории Дирака [6] определяет условную вероятность нахождения рассеянного электрона в состоянии с импульсом , при условии нахождения нейтрона в прежнем состоянии. Функция определяет вероятность нахождения после реакции одного электрона в состоянии с импульсом , другого в состоянии с импульсом . Нейтрон, при этом, переходит в протон. Принято называть первый канал рассеяния когерентным, второй –некогерентным. Безусловная вероятность нахождения одного электрона после рассеяния в состоянии с импульсом определяется суммой . Нетрудно видеть, что усреднение оператора по состоянию системы имеет вид
. (3)
Произведение операторов носит название оператора числа электронов в состоянии с импульсом . Усредненное по состоянию произведение определяет “ среднее ” значение числа электронов в этом состоянии. Оператор полного числа частиц, очевидно, равен . Если же в системе присутствует лишь одна частица, то конструкция (3) в согласии с теорией Дирака определяет полную вероятность нахождения электрона в состоянии с импульсом . Эта конструкция достаточна для количественного описания процесса рассеяния.
Обратимся к теории возмущений. В представлении взаимодействия волновая функция системы удовлетворяет уравнению [7]
.
Решение этого уравнения имеет вид
, ,
Поскольку
, ,
то
, .(4)
Такое представление является очевидным, так как оператор содержит операторы и лишь в первой степени, и каждое воздействие оператора меняет нейтронное состояние системы на протонное и наоборот. Поскольку , то низшее по заряду приближение вероятности процесса рассеяния описывается оператором . При этом, выражение описывает вероятность рассеяния при условии, что в результате рассеяния система остается в нейтронном состоянии, протон в системе отсутствует. В этом приближении функцией обычно пренебрегают. Но при изучении физических реакций нас интересуют не условные, а полные вероятности процессов рассеяния. Поэтому опускать некогерентный канал рассеяния при любой величине константы взаимодействия , вообще говоря, нельзя. К тому же, при наличии в системе резонансных явлений теория возмущений вообще теряет смысл. Некоторые особенности резонансного рассеяния электрона на нейтроне удается описать аналитически.
Вычислим в явном виде операторы и .
Начнем с оператора
. (5)
При изучении стационарных процессов рассеяния допустимо [2] использовать предельный переход , что сильно упрощает расчеты. Мы воспользуемся этим приемом.
Подстановка (1) и (2) в (5) показывает, что
, (6)
где
При вычислении оператора необходимо упростить конструкцию , . (7)
Поскольку при вычислении (7) конструкции
(8)
обращаются в ноль, то в (7) нас интересуют лишь равные друг другу перекрестные члены
. (9)
Переход от хронологического произведения операторов к их нормальному произведению, легко [8] осуществляется с помощью свертки полевых операторов
,
,
где оператор нормального упорядочения полевых операторов. Учитывая равенства (8) и интересующую нас далее конструкцию , при вычислении (9) достаточно ограничиться одной сверткой протонных операторов
После выполнения интегрирования по координатам и времени оказывается, что
. (10)
Отсюда по известным правилам квантовой теории вероятность когерентного рассеяния электрона в единицу времени в состояние с импульсом оказывается равной
. (11)
Эта формула, очевидным образом, описывает стандартный резонанс в точке . Ниже показано, что полная вероятность в этой точке с учетом некогерентного канала рассеяния обладает значительно более ярко выраженной особенностью.
Эту особенность, казалось бы, можно изучить, рассматривая возникающую в некогерентном канале часть конструкции
, (12)
пропорциональную
.
Но такая сумма не является положительно определенной, и нарушает положительную определенность некогерентного канала в целом. Рассмотрение такой суммыпо этой причине теряет смысл.Положительная определенность восстанавливается путем добавления слагаемых, содержащих операторы и , что возвращает нас к (12). Таким образом, содержащиеся в (12) слагаемые, пропорциональные , играют определяющую роль. Далее заметим, что учтенные указанным образом члены пропорциональные , не исчерпывают всех слагаемых в некогерентном канале. Такие же степени заряда возникают в высшем приближении, определяемом произведением . И так далее. Таким образом, стандартным образом построить теорию возмущений по заряду на основе формулы (3) не представляется возможным. Суммы бесконечных подпоследовательностей членов с более высокими степенями могут описываться выражениями, обладающими более низкими степенями заряда. Таковы известные свойства бесконечных рядов в теории квантованных полей. К этому вопросу ниже мы вернемся еще раз. Возникает вопрос: нельзя ли перестроить теорию так, чтобы вклад слагаемых четвертой степени в конструкцию был бы положительно определен.