Теоретические сведения
Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена
1.Разложение функции в ряд Маклорена.
. Областью сходимости ряда является промежуток .
2. Разложение функции в ряд Маклорена.
. Областью сходимости ряда является промежуток .
3. Разложение функции в ряд Маклорена.
. Областью сходимости ряда является промежуток .
4. Биномиальный ряд. Разложим в ряд Маклорена функцию , где –любое действительное число.
при .
5. Разложение функции в ряд Тейлора.
При имеет место разложение:
.
6. Разложение функции в ряд Маклорена
. Область сходимости .
7. Разложение функции в ряд Маклорена.
Область сходимости .
Пример 1. Разложить в степенной ряд функцию .
Очевидно, . Обозначим и воспользуемся биномиальным рядом при .
, .
Возвращаясь к переменной , получаем при :
Приложения степенных рядов к приближенным вычислениям
Числовые и функциональные ряды широко применяются в приближенных вычислениях. Рассмотрим это на примерах.
Пример 1. Вычислить с точностью до 0,001.
Воспользуемся полученным разложением: .
Тогда:
Так как ряд знакочередующийся и 0,0008<0,001, то все слагаемые, начиная с 0,0008, отбрасываем и при этом погрешность не превосходит 0,001.
Пример 2. Вычислить с точностью до 0,001.
. Используем биномиальный ряд: , .
Так как ряд знакочередующийся и 0,00096<0,001, то все слагаемые, начиная с 0,00096, отбрасываем и при этом погрешность не превосходит 0,001.
Пример 3. Вычислить с точностью до 0,001.
Для функции формула Тейлора имеет вид:
, где , .
При получаем знакоположительный числовой ряд; . , поэтому и . Тогда . Необходимо взять столько членов ряда, чтобы выполнялось условие или .
При получаем:
.
Так как 0,0002<0,0005, то достаточно взять четыре слагаемых.
Пример 4. Проинтегрировать дифференциальное уравнение , методом последовательного дифференцирования.
Будем искать решение в виде ряда Маклорена:
.
, , , , , при .
При получаем: , , , при .
Окончательно получаем .
Задания для решения в аудитории
1. Разложите функцию в ряд по степеням х-1.
2. Разложите функцию в ряд по степеням х+1.
3. Разложите функцию в ряд по степеням х.
4. Разложите функцию в ряд по степеням х.
5. Разложите функцию в ряд по степеням х.
6. Разложите функцию в ряд по степеням х.
7. Разложите функцию в ряд по степеням х.
8. Разложите функцию в ряд по степеням х.
9. Разложите функцию в ряд по степеням х-1.
10. Разложите функцию в ряд по степеням х.
11. Разложите функцию в ряд по степеням х
12. Разложите функцию в ряд по степеням х-2.
13. Разложите функцию в ряд по степеням х- .
14. Вычислите с точностью до 0,00001.
15. Вычислите с точностью до 0,0001.
16. Вычислите с точностью до 0,0001.
17. Вычислите с точностью до 0,0001.
18. Вычислите с точностью до 0,001.
19. Вычислите с точностью до 0,0001.
20. Вычислите с точностью до 0,0001.
21. Вычислите с точностью до 0,00001.
22. Вычислите с точностью до 0,0001.
23. Вычислите π с точностью до 0,001, полагая в разложении arctg x.
24. Найдите .
25. Найдите .
26. Вычислите с точностью до 0,0001.
27. Вычислите с точностью до 0,001.
28. Вычислите с точностью до 0,001.
Домашнее задание № 9
1. Разложите функцию в ряд по степеням х-1.
2. Разложите функцию в ряд по степеням х.
3. Разложите функцию в ряд по степеням х.
4. Разложите функцию в ряд по степеням х.
5. Разложите функцию в ряд по степеням х.
6. Разложите функцию в ряд по степеням х.
7. Разложите функцию в ряд по степеням х+1.
8. Разложите функцию в ряд по степеням х+1.
9. Вычислите е с точностью до 0,00001.
10. Вычислите с точностью до 0,0001.
11. Вычислите с точностью до 0,0001.
12. Вычислите с точностью до 0,001.