Рисунок 27 – Третье элементарное измерение
Если подставить в уравнение (3.1) значения XC, YC и R, то получится сложное уравнение второй степени относительно неизвестных X и Y. Из одного уравнения два неизвестных найти невозможно, следовательно, измерения одного угла β на определяемой точке недостаточно для определения двух координат этой точки.
Для однозначного определения двух координат точки P нужно выполнить измерение двух элементов. Количество комбинаций из трёх по два равно шести; комбинации двух элементарных измерений для определения координат одной точки называются геодезическими засечками.
1. Измеряются один угол и одно расстояние; оба измерения выполняются на пункте A, – полярная засечка;
2. Измеряются два угла; один угол измеряется на пункте A, другой - на пункте B, - прямая угловая засечка;
3. Измеряются два расстояния; одно расстояние - от пункта A до пункта P, другое – от пункта B до пункта P, - линейная засечка;
4. Измеряются два угла; оба измерения выполняются на точке P; один угол − между направлениями на исходные пункты A и B, другой – между направлениями на исходные пункты B и D, - обратная угловая засечка.
Пятая и шестая комбинации названий не имеют и для определения координат точки P не применяются.
3.3.3. Полярная засечка
В полярной засечке исходными данными являются координаты пункта А и дирекционный угол направления АВ (если дирекционный угол не задан, нужно решить обратную геодезическую задачу между пунктами А и В и вычислить его); измеряемыми данными являются горизонтальный угол (средняя квадратическая ошибка измерения угла ) и расстояние (относительная ошибка измерения расстояния ); определяемые данные – координаты точки P.
Графическое решение.
Сначала на чертеже (плане) нужно построить систему координат и нанести точки Α и Β по их известным координатам; затем нужно соединить точки Α и Β прямой линией, от линии ΑΒ отложить по часовой стрелке угол β и провести линию положения точки P. Зафиксировать на циркуле расстояние S в масштабе чертежа (плана) и провести небольшую дугу радиусом S; точка пересечения линии и дуги является искомой точкой P (рис.28).
Рисунок 28 – Схема полярной засечки
Вычислим дирекционный угол направления АP и запишем два уравнения, соответствующие двум элементарным измерениям: уравнение прямой линии, проходящей через точку А в заданном направлении АP, и уравнение окружности радисом с центром в точке А
Алгоритм решения полярной засечки в кратком виде:
- вычислить дирекционный угол линии AP ;
- вычислить приращения координат: ; ;
- вычислить координаты точки P: ; ;
- вычислить ошибку положения точки P: ; ρ=206265”.
Пример решения полярной засечки приведён в таблице 4.
Таблица 4 - Решение полярной засечки
№ п/п | Обозначения | Вычисления |
αΑΒ β | 3040 07’ 08” 34 12 30 | |
6’ | αΑP αΑP (десятичная форма) | 338 19 38 338. 327 222 |
Sin αΑP Cos αΑP S (м) | − 0. 369 305 + 0. 929 308 1 000.00 | |
XA (м) | 6 642 000.00 + 929.31 | |
XP YP | 6 642 929.31 7 374 630.70 | |
YA (м) | − 369.30 7 375 000.00 | |
MP (м) | 0.17 |
3.3.4. Прямая и обратная геодезические задачи
В геодезии есть две стандартные задачи: прямая геодезичеcкая задача на плоскости и обратная геодезическая задача на плоскости.
Прямая геодезическая задача - это вычисление координат , второго пункта, если известны координаты , первого пункта, дирекционный угол и длина линии, соединяющей эти пункты.
Прямая геодезическая задача является частью полярной засечки, и формулы для ее решения берутся из набора формул для решения полярной засечки
,
.
Обратная геодезическая задача - это вычисление дирекционного угла и длины линии, соединяющей два пункта с известными координатами и (рис.29).
Рисунок 29 – Схема обратной геодезической задачи
Построим на отрезке 1-2 как на гипотенузе прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. В этом треугольнике гипотенуза равна ; катеты равны приращениям координат точек 1 и 2 ( ), а один из острых углов равен румбу линии 1-2.
Если и , то треугольник решается по известным формулам
;
и .
Для данного рисунка направление линии 1-2 находится во второй четверти, поэтому
.
Общий порядок нахождения дирекционного угла линии 1-2 включает две операции:
- определение номера четверти по знакам приращений координат ;
- вычисление дирекционного угла по формулам связи дирекционного угла и румба в соответствии с номером четверти.
Контролем правильности вычислений является выполнение равенства
.
Если , то ,
при ;
при .
Если , то ,
при ;
при .
Для решения обратной задачи в автоматическом режиме (в программах для ЭВМ) используется другой алгоритм, не содержащий тангенса угла и исключающий возможное деление на ноль при :
,
,
если , то ;
если , то .
Таблица 5 – Решение обратной геодезической задачи (1-й алгоритм)
№ п/п | Обозначения | Вычисления |
XB (м) XA XB – XA | 6 642 841.24 6 642 000.00 + 841.24 | |
b = (5) / (11) Cos α | 1 499.78 + 0. 560 910 | |
8’ | tg r r (десятичная форма) r (IY четверть) α = 3600 – r | 1. 475 952 55. 881 229 550 52’ 52” 3040 07’ 08” |
Sin α b = (6) / (10) | − 0. 827 877 1 499.78 | |
YB (м) YA YB − YA | 7 373 758.37 7 375 000.00 − 1 241.63 | |
(XB – XA)2 (YB − YA)2 b2 = (14) + (15) b = √ (16) | 707 684.7 1 541 645.0 2 249 329.7 1 499.78 |
Таблица 6 – Решение обратной геодезической задачи (2-й алгоритм)
№ п/п | Обозначения | Вычисления |
XB (м) XA XB – XA | 6 642 841.24 6 642 000.00 + 841.24 | |
12’ | Cos a’ = (5) / (10) a’ (десятичная форма) a’ α = 3600 – a’ | + 0. 560 909 55. 881 316 550 52’ 53” 3040 07’ 07” |
YB (м) YA YB − YA | 7 373 758.37 7 375 000.00 − 1 241.63 | |
(XB – XA)2 (YB − YA)2 b2 = (14) + (15) b = √ (16) | 707 684.7 1 541 645.0 2 249 329.7 1 499.78 |
3.3.5. Прямая угловая засечка
Сначала рассмотрим так называемый общий случай прямой угловой засечки, когда углы и измеряются на двух пунктах с известными координатами, каждый от своего направления с известным дирекционным углом (рис.30).
Исходные данные: ;
Измеряемые элементы: ;
Неизвестные элементы: точки .
Если или не заданы явно, нужно решить обратную геодезическую задачу сначала между пунктами A и C и затем между пунктами B и D.
Графическое решение. От направления AC отложить с помощью транспортира угол и провести прямую линию AP; от направления BD отложить угол и провести прямую линию BP; точка пересечения этих прямых является искомой точкой P.
Рисунок 30 – Общий случай прямой угловой засечки Рисунок 31 – Частный случай ПУЗ
Аналитическое решение. Приведем алгоритм, соответствующий общему случаю засечки:
1) вычислить дирекционные углы линий AP () и BP ()
; ;
2) написать два уравнения прямых линий
для линии АР ,
для линии ВР ;
3) решить систему двух уравнений и вычислить неизвестные координаты
,
.
Частным случаем прямой угловой засечки считают тот случай, когда углы и измерены от направлений AB и B A, причем угол - правый, а угол - левый (в общем случае засечки оба угла - левые) - рис.31.
Решение прямой угловой засечки методом треугольника соответствует частному случаю засечки. Порядок решения прямой угловой засечки методом треугольника:
1) решить обратную задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол и длину линии AB,
2) вычислить угол при вершине P ;
3) используя теорему синусов для треугольника APB
,
вычислить длины сторон AP ()и BP ();
4) вычислить дирекционные углы и
, ;
5) решить прямую задачу от пункта A к точке P и для контроля - от пункта B к точке P; оба решения должны совпасть.
Для вычисления координат в частном случае прямой угловой засечки можно использовать формулы Юнга
,
.
От общего случая прямой угловой засечки нетрудно перейти к частному случаю; для этого нужно сначала решить обратную геодезическую задачу между пунктами A и B и получить дирекционный угол линии A B и затем вычислить углы в треугольнике APB при вершинах A и B
и .
Для машинного счета все рассмотренные способы решения прямой угловой засечки по разным причинам неудобны. Один из возможных алгоритмов решения общего случая засечки на ЭВМ предусматривает следующие действия:
1) вычисление дирекционных углов и ,
|
; ; ; ;
;
.
Рисунок 32 – Прямая угловая засечка в системе координат
3) запись уравнений линий AP и BP в системе
,
;
и совместное решение этих уравнений
,
; (3.2)
4) перевод координат и из системы в систему
,
.
Так как и угол засечки всегда больше , то решение (3.2) всегда существует.
3.3.6. Линейная засечка
В линейной засечке исходными данными являются координаты пунктов А и В; измеряемыми данными являются расстояния и (относительная ошибка измерения расстояний ); определяемые данные – координаты точки P.
Рисунок 33 – Линейная засечка
Графическое решение.
Сначала на чертеже (плане) нужно построить систему координат и нанести точки Α и Β по их известным координатам; затем нужно провести две окружности с центрами в точках Α и Β, первую окружность – радиусом и вторую – радиусом ; одна из точек пересечения этих окружностей и является искомой точкой Р; другая точка P’ является является вторым (альтернативным) вариантом решением засечки (рис.33)
Аналитическое решение линейной засечки может быть выполнено по двум алгоритмам: первый из них предусматривает решение системы уравнений двух измеренных расстояний
,
.
У этой системы уравнений нет простого решения в системе координат , поэтому приходится применять систему координат с началом в точке А и осью , направленной от точки А вдоль линии АВ. В новой системе координаты точек А и В будут равны
Расстояние , равное длине линии АВ, находится из решения обратной геодезической задачи между точками А и В; при этом вычисляется также дирекционный угол линии АВ.
Уравнения двух окружностей в новой системе координат будут иметь вид
;
.
Совместное решение этих двух уравнений предусматривает раскрытие скобок во втором уравнении и вычитание второго уравнения из первого
,
откуда
,
и
.
Если искомая точка находится слева от линии АВ, то в формуле для нужно брать знак “минус”, если справа, то – знак “плюс”.
Пересчёт координат точки из системы в систему выполняется по формулам
,
.
Описанный алгоритм удобен для составления программы при решении линейной засечке на ЭВМ.
Алгоритм “ручного счёта” предусматривает решение треугольника АВР по формулам планиметрии:
- в треугольнике ABР по теореме косинусов вычислить углы β1 и β2
,
;
- вычислить угол γ этого же треугольника ;
- вычислить дирекционные углы сторон AР и BР:
точка Р справа от линии AB
,
;
точка Р слева от линии AB
,
;
дирекционный угол αAB следует взять равным углу α из решения обратной геодезической задачи между точками A и B; ;
- решить прямые геодезические задачи:
из пункта A на точку P
,
,
и из пункта B на точку P
,
;
расхождение координат и по двум решениям не должно превышать 0,02 м;
- вычислить ошибку положения точки P по формуле
.
Пример решения линейной засечки приведён в таблице 7.
Напоминание: При выполнении операций 19 и 20 искомый угол (β1 или β2) следует перевести из десятичной формы в полную форму, округлить до целых секунд и затем уже записать в таблицу вычислений. Перед выполнением операций 23 и 24 нужно перевести в десятичную форму угол ; перед выполнением операций 25 и 26 нужно перевести в десятичную форму угол .
Таблица 7 - Решение линейной засечки
№ п/п | Обозначения (точка Р справа от линии АВ) | Вычисления |
b (м) S1 S2 (справа) b2 S12 S22 | 1 499, 78 1 000, 00 1 200, 00 2 249 340 1 000 000 1 440 000 | |
b2 + S12 − S22 Cos β1 = (13) / (14) | 1 809 340 2 999 560 + 0, 603 202 | |
αAB β1 = arcos (15) αAP = (6) + (19) | 3040 07’ 08” 52 54 02 357 01 10 | |
XA (м) X2 = (1) + (23) Y2 = (2) + (24) YA | 6 643 000, 00 + 998, 65 6 642 998, 65 7 374 948, 00 − 52, 00 7 375 000, 00 | |
b2 + S22 − S12 Cos β2 = (16) / (17) | 2 689 340 3 599 472 + 0, 747 148 | |
αBA = αAB ± 1800 β2 = arcos (18) αBP = (7) − (20) | 1240 07’ 08” 41 39 22 82 27 46 | |
XB (м) X = (3) + (25) Y = (4) + (26) YB | 6 642 841, 24 + 157, 40 6 642 998, 64 7 374 948, 00 + 1 189, 63 7 373 758, 37 | |
850 26’ 36” | ||
MP (м) | 0, 16 |
3.3.7. Обратная угловая засечка
К элементарным измерениям относится и измерение угла на определяемой точке между направлениями на два пункта и с известными координатами и . Однако, это измерение оказывается теоретически довольно сложным, поэтому рассмотрим его отдельно. Проведем окружность через три точки . Из школьного курса геометрии известно, что угол с вершиной на окружности измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, измеряется всей дугой, следовательно, он будет равен (рис.34).
Рисунок 34 - К вычислению R и координат Ц Рисунок 35 – Обратная угловая засечка
Расстояние между пунктами и считается известным, и из прямоугольного треугольника можно найти радиус окружности
. (3.3)
Уравнение окружности имеет вид
, (3.4)
где - координаты центра окружности. Их можно вычислить, решив либо прямую угловую, либо линейную засечку с пунктов и на точку . В уравнении (3.4) - координаты любой точки окружности, в том числе и точки , но для нахождения двух координат точки одного такого уравнения недостаточно. Обратной угловой засечкой называют способ определения координат точки по двум углам и , измеренным на определяемой точке между направлениями на три пункта с известными координатами (рис.35).
Исходные данные: ;
Измеряемые элементы: ;
Неизвестные элементы: координаты точки - .
Графическое решение. Приведем способ Болотова графического решения обратной угловой засечки. На листе прозрачной бумаги (кальки) нужно построить углы и с общей вершиной ; затем наложить кальку на чертеж и, перемещая ее, добиться, чтобы направления углов на кальке проходили через пункты на чертеже; переколоть точку с кальки на чертеж.
Аналитическое решение. Аналитическое решение обратной угловой засечки предусматривает ее разложение на более простые задачи, например, на две прямые угловые засечки и одну линейную, или на три линейных засечки и т.д. Известно более десяти способов аналитического решения, но мы рассмотрим только один - через последовательное решение трех линейных засечек. Предположим, что положение точки известно, и проведем две окружности: одну радиусом через точки и другую - радиусом через точки (рис.35). Радиусы этих окружностей получим по формуле (3.3)
; .
Если координаты центров окружностей (точек и ) будут известны, то координаты точки можно определить по формулам линейной засечки: из точки по расстоянию и из точки - по расстоянию . Координаты центра можно найти по формулам линейной засечки из точек и по расстояниям , причем из двух решений нужно взять то, которое соответствует величине угла ; если , то точка находится справа от линии ; если , то точка находится слева от линии . Координаты центра находятся по формулам линейной засечки из точек и по расстояниям , и одно решение из двух возможных выбирается по тому же правилу: если , то точка находится справа от линии , если , то точка находится слева от линии .
Задача не имеет решения, если все четыре точки и находятся на одной окружности, так как обе окружности сливаются в одну, и точку их пересечения указать невозможно.
1.2.1. Комбинированные засечки
В рассмотренных способах решения засечек количество измерений принималось теоретически минимальным (два измерения), обеспечивающим получение результата, однако, при этом нет контроля правильности измерений. На практике для нахождения координат и одной точки, как правило, выполняют не два, а три и более измерений; понятно, что в этом случае появляется возможность контроля измерений, и, кроме того, повышается точность решения задачи. Каждое измерение, вводимое в задачу сверх теоретически минимального количества, называют избыточным; оно порождает одно дополнительное решение. Геодезические засечки без избыточных измерений принято называть однократными, а засечки с избыточными измерениями - многократными.
При наличии избыточных измерений вычисление неизвестных выполняют по способу уравнивания. В настоящее время алгоритмы строгого уравнивания измерений в различных геодезических построениях реализованы в машинных программах на ЭВМ; для ручного счета обычно применяют нестрогие (упрощенные) способы уравнивания. Упрощенный способ уравнивания какой-либо многократной засечки ( измерений) предусматривает сначала формирование и решение всех возможных вариантов независимых однократных засечек (их число равно ), а затем - вычисление средних значений координат точки из всех полученных результатов, если они различаются между собой на допустимую величину.
1.2.2. Ошибка положения точки в однократных засечках
Положение точки на плоскости по двум измерениям получается в пересечении двух линий положения. Для измеренного расстояния линией положения является окружность радиуса с центром в исходном пункте (рис.36-а); для измеренного угла с вершиной в исходном пункте - прямая линия, проведенная под углом к исходной линии (рис.36-б).
Рисунок 36 - Линия положения и "полоса положения" точки :
а) для измеренного расстояния, б) для измеренного угла.
Вследствие ошибок измерений необходимо ввести понятие "полоса положения". Для расстояния , измеренного со средней квадратической ошибкой - это круговой пояс (кольцо) шириной между двумя окружностями радиусами и ; для угла , измеренного с ошибкой - это узкий треугольник с вершиной в точке и углом при вершине . Линия положения точки является осью симметрии полосы положения (рис.37).
Введем понятие "вектор ошибки измерения" и обозначим его через . Для измеренного расстояния вектор направлен вдоль линии (прямо или обратно) и имеет модуль ; для измеренного угла вектор направлен перпендикулярно линии (влево или вправо от нее) и имеет модуль , где .
Точка , находясь на пересечении двух линий положения, является центром четырёхугольника положения, образующегося в пересечении двух полос положения (рис.37). Этот элементарный четырёхугольник можно считать параллелограммом, так как в пределах него дуги окружностей можно заменить отрезками касательных, а расходящиеся стороны угла - отрезками прямых, параллельных линии положения. Расстояния от точки до границ четырёхугольника неодинаковы, что говорит о различии ошибок положения точки по разным направлениям.
Рисунок 37 - Четырёхугольник положения:
а) в линейной засечке, б) в прямой угловой засечке.
Линии положения делят четырёхугольник положения на 4 равные части (рис.38), которые назовем параллелограммами ошибок с углами при вершинах и , где - - угол между векторами ошибок и .
12 | Поделиться: |
Поиск по сайту
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-20 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных
Поиск по сайту:
Читайте также:
Деталирование сборочного чертежа
Когда производственнику особенно важно наличие гибких производственных мощностей?
Собственные движения и пространственные скорости звезд