Ход урока
I. Организационный момент.
- Приветствие.
- Сообщение цели урока.
- Объявление плана урока.
II. Основная часть.
Историческая справка о происхождении терминов и обозначений по теме.
Сообщение ученика (Учебник, стр. 155, п. 1) [1]
Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. И. Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой. Исчисление созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XXVII века. С помощью тех же методов математики изучали в XXVII и XXVIII веках различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л. Эйлер, написавший учебник “Дифференциальное исчисление”.
Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX века французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.
Применяемая сейчас система обозначений для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу.
В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники.
Работа с классом.
Проверка домашнего задания - опрос по основным теоретическим положениям по теме.
- Достаточный признак возрастания (убывания) функции.
- Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции.
- Определение критических точек функции, точек экстремума и экстремумов функции.
- Необходимое условие экстремума.
- Достаточные условия существования экстремума в точке: признак максимума и минимума. Примеры функций, имеющих экстремумы и не имеющих.
- Алгоритм отыскания экстремумов функции.
- Схема исследования функции (с помощью производной).
- Алгоритм нахождения наибольших и наименьших значений функции
a) на отрезке
b) на незамкнутом промежутке
Привести примеры функций:
- Имеющих критические точки, в которых f’(x) не существует.
- f’(x0) = 0, но x0 не является точкой экстремума.
- f(x) = . Найти f’(x). Найти f’(0). Является ли 0 - критической точкой.
- f(x) = . Найти f’(x). Найти f’(0). Является ли 0 - критической точкой.
- Может ли значение функции в точке максимума быть меньше ее значения в точке минимума.
(ответ: да, может)
Работа по рисункам на доске.
По характеру изменения графика функции указать на каких промежутках производная положительна, на каких - отрицательна (каждая из функций определена на R).
7. Дан график производной функции h(x). Найдите промежутки возрастания и убывания функции.
Ответ: h(x) возрастает на [-5;2], [4;8]
h(x) убывает на (- ;-5], [8;+ ).
8. Даны графики производных функций. При каких значениях переменной x функции имеют точки максимума и минимума? Назовите эти точки.
Ответ:
а) x = -2 – точка минимума; x = 2 – точка максимума
б) -4 и 1 – точки максимума; -1 и 3 – точки минимума
в) x = 2 – точка максимума
Проблемная ситуация:
Задача. Определить какое из чисел больше? [7]
Сравнить числа:
(cos 1990) и (1+cos 1991).
Возможно ли эту задачу решить известными ученикам приемами? Формулы приведения применить нельзя; использование формул тригонометрических преобразований не приводит к нужному результату.
Пусть M = cos 1990; N= I +cos 1991.
Задача сводится к тому, какой знак между этими числами поставить: М>N либо M<N.
В связи с только что изученной теорией ученики использовали свойство возрастания и убывания функции:
Функция f возрастает (убывает) на множестве Р, если для любых x1 и x2 из множества Р, таких, что x2 > x1 выполнено неравенство f(x2) > f(x1).
Целесообразно вспомнить это определение и при решении настоящей задачи. Тогда нужно определить, как относиться к М и N: либо как к аргументам, либо как к соответствующим значениям какой-то функции, и, связав это с ее производной, выяснить характер ее монотонности и ответить на вопрос задачи. Так как составление функции в данных условиях для учеников - задача непривычная, подсказка учителя не будет лишней.
Понятно, что прибавление одной и той же константы к обеим частям неравенства сохранит знак этого неравенства: M N M + C N + C
Положим С=1990, тогда:
C + M = 1990 + cos l990; С + N = 1991 +cos l991.
Нетрудно видеть, что если рассмотреть функцию
f(x) = x + cosx,
то С + М = f(1990), C + N = f(1991).
Итак, имеем две точки x1 и x2:
x1 = 1990, x2 =1991; x1 < x2 ;
надо сравнить значения функции f(x) в этих точках.
Определим характер монотонности f(x):
так как f'(x) = 1 — sinx 0 и f'(x) = 0 при х = , то f(x) возрастает на множестве всех действительных чисел.
Поэтому: f (1990) < f (1991) => М + С < N + C => M < N => (cos l990) < (1 + cos l991)
Работа с тестами.
Предлагается 3 вида тестов, дифференцированных на три уровня глубины изучения темы:
А – минимальный уровень
Б – базовый уровень
В – углублённый уровень.
Тесты прилагаются. [6]
III. Заключительная часть.
- Подведение итогов занятия
- Объявление оценок
- Задание на дом
Литература
- Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов средней школы. / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др., под редакцией А.Н. Колмогорова. - М., 1993
- Задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений. / С.М. Саакян, А.М. Гольдман, Д.В. Денисов. - Просвещение, 2001
- Зачеты в системе дифференцированного обучения математике: Библиотека учителя математики / Л.О. Денищева, Л.В. Кузнецова, И.Л. Лурье и др. - М., Просвещение, 1993
- Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. / Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд - М., Просвещение, 2000
- Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учебное пособие для 10 - 11 классов средней школы. / Б.М. Ивлев, Ю.П. Дудницын, С.И. Шварцбурд - М., Просвещение, 1990
- Производная и её применение. Дидактические материалы по курсу алгебры и началам анализа (10 - 11 классы). / Санкт-Петербург. Издательство “Свет”, 1995
- Использование производной в школьных уравнениях и неравенствах. Методические рекомендации. / О. О. Макарычева - Санкт-Петербург, 1994