Лекция 5
Непрерывные случайные величины
Первой производной от функции распределения F (x) является функция f (x), которая называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х: Плотность распределения также называют дифференциальной функцией.
Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения F (x) непрерывна на всей оси ОХ, а плотность распределения f (x) существует везде, за исключением, может быть, конечного числа точек.
Свойства функции распределения для дискретной случайной величины сохраняются и для непрерывной случайной величины.
Свойства дифференциальной функции распределения :
1.
2. (условие нормировки),
3.
Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Математическое ожидание: .
Дисперсия: .
Среднее квадратичное отклонение: , и вероятность попадания случайной величины в интервал :
Пример 1. Случайная величина задана плотностью распределения: Найти
Решение: ● Константу найдем из условия нормировки: .
. Интегралы на участках и равны нулю, значит:
● Найдем :
● Вычислим не учитывая участки и .
● Вычислим вероятность попадания случайной величины в указанный интервал (0, 2):
Равномерный закон распределения
Равномерным называют такое распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, при котором на интервале (a, b) плотность сохраняет постоянное значение, а именно ; вне этого интервала .
Числовые характеристики равномерного закона:
; ; ;
Пример 2. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.
Решение: Интервал движения можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в интервале между прибытием двух следующих друг за другом автобусов. Плотность равномерного распределения . Ожидание менее трех минут означает нахождение в интервале (0; 3). По формуле получим:
или иначе по формуле для равномерного закона:
Экспоненциальный закон распределения
Экспоненциальным (показательным) называют распределение вероятностей случайной величины Х, которое описывается плотностью:
,
где – постоянная положительная величина.
Числовые характеристики экспоненциального закона распределения:
; ; ; .
Пример 3. Непрерывная случайная величина Х распределена по показательному закону, заданному плотностью вероятности при ; при . Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадает в интервал (0,13; 0,7).
Решение. Используем формулу:
Учитывая, что по условию a =0,13, b =0,7, , получим:
.
Нормальный закон распределения
Случайная величина называется распределенной по нормальному закону, если её плотность вероятности имеет вид:
где математическое ожидание, среднее квадратичное отклонение.
Нормальная кривая симметрична относительно прямой x = a.
Здесь , где функция Лапласа с аргументом .
Вероятность попадания случайной величины в интервал вычисляется как:
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше положительного числа e: . Напомним, что F0(– z) =– F0(z).
Пример 4. Нормальная случайная величина X задана математическим ожиданием a =7 и средним квадратичным отклонением s =2. Вычислить вероятность попадания случайной величины X в интервал (6;8).
Решение: Из условия a =6; b =8.
Воспользуемся формулой и табл. прил.2:
.
Пример 5. Упаковка с вишневым соком заполняется автоматически. В среднем масса одной упаковки 1,1 кг. Найти среднее квадратическое отклонение, если 9% упаковок имеют массу меньше 1 кг. (предполагается, что массы упаковок распределены по нормальному закону).
Решение: Т.к. 9% имеют массу меньше 1 кг, то 91% упаковок имеют массу больше 1 кг. Это означает, что вероятность отклонения случайной величины от математического ожидания a =1,1 меньше положительного числа ε =0,1 равна 0,91:
.
По таблице прил.2 находим, что функция Лапласа равна 0,455 при значении аргумента z =1,70. Отсюда .