Проверка значимости коэффициентов регрессии

Так как выполнены неравенства

> tкрит.(0,05;10)=2,23; > tкрит.(0,05;10)=2,23,

то следует вывод о том, что коэффициенты и значимы.

В ячейках Е15, Е16 получены границы доверительного интервала для генерального коэффициента регрессии с уровнем значимости :

Проверка значимости уравнения регрессии (ячейки Е12, Е13): крит.=4,96. Уравнение значимо с уровнем доверия 1-0,05=0,95=95%.

Построение доверительных границ для уравнения регрессии по формулам:

,

где - оценка групповой средней , вычисляется по формуле:

 

 

Пусть переменная х будет изменяться в диапазоне x=5; 5,3;…8. Таблица для вычислений доверительных границ строится в диапазоне F1:M12.

В диапазоне F1:M1 ввести обозначения x, Syx, Sy0, Yx, Y01, Yx1, Yx2, Y02.

В F2, F3 ввести числа 5 и 5,3, затем выделить ячейки F2:F3 и маркером заполнения протянуть вниз до F12.

В G2 ввести формулу

=E$6*КОРЕНЬ((1/12+(F2-E$4)^2/(11*ДИСП(A$2:A$13))))

и маркером заполнения протянуть ячейку G2 вниз до G12.

В ячейку Н2 ввести формулу

=E$6*КОРЕНЬ((1+1/12+(F2-E$4)^2/(11*ДИСП(A$2:A$13))))

и маркером заполнения протянуть ячейку Н2 вниз до Н12.

В диапазоне I2:M2 ввести формулы, указанные в таблице. Ввыделить диапазон I2:M2 и протянуть вниз до строки 12.

 

	I	J	K	L	M
	Yx	Y01	Yx1	Yx2	Y02
	=E$3+E$2*F2	=I2-E$11*H2	=I2-E$11*G2	=I2+E$11*G2	=I2+E$11*H2

В результате получится таблица для построения доверительных границ

 

 

Чтобы построить график уравнения регрессии и графики доверительных границ, выделить диапазон F1:F12, затем, удерживая нажатой клавишу Ctrl, выделить диапазон I1:M12 и с помощью Мастера диаграмм построить диаграмму «Точечная».

На графике Yx1, Yx2 обозначают нижнюю и верхнюю доверительные границы для , вычисляемые по формуле, а Y01 и Y02 обозначают нижнюю и верхнюю доверительные границы для индивидуальных значений , вычисляемые по формуле.

 

 

Решение с помощью Пакета анализа

Загрузить Пакет анализа и выбрать инструмент «Регрессия ».

В диалоговом окне ввести следующие данные: Входной интервал Y: В1:В13, Входной интервал Х: А1:А13, поставить флажок в строках Метки и Уровень надёжности, в Параметрах выхода указать Новый рабочий лист и нажать кнопку ОК. Результаты представлены на рис.

 

 

Пример 3. Получить уравнение множественной регресии.

 

X1	2,7	3,2	3,7	4,2	4,7	5,2	5,7	6,2	6,7	7,2
X2	1,5	2,3	2,5	3,7	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,15
Y

 

Построить уравнение множественной линейной регрессии . Проверить для уровня значимость уравнения регрессии. Проверить значимость коэффициентов регрессии для уровня .

Последовательность выполнения

Ввести данные в диапазоне A1:D15. В ячейках А1, В1, С1 и ввести метки переменных X1, X2, Y.

Вызвать Пакет анализа, инструмент «Регрессия » и в диалоговом окне ввести параметры: Входной интервал Y: $C$1:$C$11; Входной интервал Х: $А$1:$B$11; Выходной интервал: $А$15; отметить галочками все пункты в разделе Остатки. Нажать кнопку Ок. Результат состоит из четырёх таблиц и 2-х графиков.

 

 

 

 

Выводы:

Коэффициенты уравнения регрессии приведены в ячейках В17:В20, уравнение линейной регрессии имеет вид:

В разделе «Дисперсионный анализ» проводится оценка значимости уравнения регрессии. Значение в ячейке F26 практически равно нулю, т. е. это значение меньше уровня 0,05, что говорит о том, что уравнение регрессии значимо.

В ячейках D17:D19 приведены значения t-статистики, а в ячейках Е17:Е19 - значимости этих статистик. Так как значения в ячейках Е17 и Е18 близки к нулю (и меньше 0,05), то коэффициенты и значимы, а коэффициент незначим, так как Р-значение для него равно 0,234 (больше 0,05). Кроме того, доверительный интервал для этого коэффициента включает ноль (-1,912; 0,554). Необходимо исключить из уравнения регрессии слагаемое с х₂ и повторить процедуру.

 

Пример 4. Построить по данным из таблицы уравнение нелинейной регрессии

X	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	6,5
Y	1,2	1,8	1,9	2,1	2,2	2,9	3,7	4,3	4,5	4,9	5,1	5,2

; оценить значимость уравнения регрессии с уровнем ; оценить значимость коэффициентов уравнения регрессии с уровнем .

Выполнение.

1. В ячейки A1:D1 ввести метки X, X², X³ и Y.

2. Ввести значения переменной Х в диапазоне А2:А13.

3. В ячейку В2 ввести формулу: =A2^2 и протянуть маркером заполнения до вниз до В13.

4. В ячейку С2 ввести формулу: =A2^3 и протянуть маркером заполнения до вниз до С13.

5. Вызвать инструмент «Регрессия» Пакета анализа. В диалоговом окне указать:

Входной интервал Y: D1:D13, Входной интервал Х: А1:C13, поставить флажок в строках Метки и Уровень надёжности, в Параметрах выхода указать Новый рабочий лист и нажать кнопку ОК. Результаты представлены на рис.6.

1) Уравнение регрессии имеет вид: . Уравнение регрессии значимо, так как значимость критерия Фишера (ячейка F12) <0,05. Коэффициент незначим, так как Р-значение для него равно 0,157 (больше 0,05). Кроме того, доверительный интервал для этого коэффициента включает ноль

(-2,41; 0,463). Необходимо исключить из уравнения регрессии слагаемое с х (диапазон А1:А13) и повторить процедуру, поставив флажки в категории Остатки и Нормальная вероятность. Полученное уравнение регрессии имеет вид:

Уравнение регрессии значимо, все его коэффициенты значимы.

 

Рис.6.

 

 

Будут выведены ещё две таблицы. В таблице ВЫВОД ОСТАТКА представлены: Наблюдение – порядковый номер в таблице исходных данных; Предсказанное у - значение , рассчитанное по уравнению регрессии; Остатки ; Стандартные остатки. В таблице ВЫВОД ВЕРОЯТНОСТИ представлены: Персентиль – рассчитывается для каждого значения как сумма предшествующего вычисленного персентиля и h=100% /наблюдения; начальное и конечное значения персентиля рассчитываются как 0+h/2 и

100-h/2 соответственно; - значения, расположенные в порядке возрастания.

Кроме таблиц, Excel представляет графики: График нормального распределения строится по данным таблицы Вывод вероятности; Графики остатков для переменных х² и х³; Графики подбора для переменных х² и х³.