С помощью дифференциального исчисления можно установить характерные особенности изменения функций: возрастание и убывание, максимумы и минимумы, направление вогнутости графика, наличие асимптот. Обычно используют следующую схему исследования функций:
- Определение области определения.
- Определение четности или нечетности.
- Определение периодичности функции.
- Определение интервалов знака постоянства первой производной.
- Определение интервалов знака постоянства второй производной.
- Составление таблицы результатов.
х | |||||||
у ' | |||||||
у '' | |||||||
у |
- В первой строчке таблицы указываются интервалы, на которые разбивается область определения функции точками разрыва, точками экстремума и точками перегиба в порядке следования. Сами эти точки в порядке следования помещаются в отдельные столбцы. Во второй строчке таблицы в каждой ячейке указываются знаки первой производной. В третьей строчке таблицы в каждой ячейке указываются знаки второй производной. В четвёртой строчке определяется характер поведения функции в каждой ячейке. Если это точки экстремума или точки перегиба, то указываются значения функции в этих точках.
- Нахождение асимптот.
- Построение графика функции, начинается с построения асимптот и характерных точек.
Полное исследование функций и построение их графиков удобно выполнять по следующей схеме.
1) найти область определения функции;
2) выяснить, не является ли функция чётной или нечётной, периодической;
3) исследовать непрерывность, найти точки разрыва и выяснить характер разрывов;
4) найти асимптоты графика функции;
5) исследовать монотонность функции и найти ее экстремумы;
6) найти точки перегиба, установить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции;
7) обозначить дополнительные точки графика функции, например, точки его пересечения с осями координат.
12. Понятие первообразной. Неопределенный интеграл, свойства и основные методы интегрирования.
1. Понятие первообразной функции. Свойства первообразной
Во многих вопросах науки и техники возникает необходимость восстанавливать функцию по ее известной производной.
Будем говорить, что функция в интервале называется первообразной функцией для функции , если
. (1.1)
Пусть — первообразная для , тогда любая функция , где , также будет первообразной для . Действительно,
.
Таким образом, если функция имеет первообразную, то она имеет бесконечное множество первообразных.
Теорема 1. Любые две первообразные функции отличаются на постоянную.
Доказательство. Пусть и - первообразные для . Это означает, что
и для .
Рассмотрим функцию . Для нее
.
Везде дальше произвольную постоянную будем обозначать .
2. Понятие неопределенного интеграла, свойства неопределенного интеграла
Определение 1. Пусть функция определена на . Множество всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом для и обозначается (при этом называется подинтегральным выражением):
,
где — одна из первообразных функции , .
Равенство интегралов
=
понимается как равенство множеств первообразных.
Пусть функции , , определены на , а , , — их соответствующие первообразные на . Через будем обозначать дифференциалы соответствующих функций. Тогда
- ;
- ;
- , де ;
- .
Докажем свойство 4:
13. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
1. Понятие определенного интеграла
Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок на частей точками . Выберем на каждом из полученных отрезков произвольную точку .
Интегральной суммой функции на отрезке называется сумма
или
, где .
Наибольшую из длин обозначим через .
Определенным интегралом функции на отрезке называется число, равное пределу интегральной суммы и обозначается , т.е.
.
Из условия следует, что .
Пределами интегрирования называются числа и .
Подынтегральной функцией называется функция .
Если функция непрерывна на отрезке , то определенный интеграл существует.
Подчеркнем, что определенный и неопределенный интегралы существенно различаются между собой. Если неопределенный интеграл представляет семейство функций, то определенный - есть определенное число.
2. Свойства определенного интеграла
1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
.
2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций (верно для любого числа слагаемых):
.
3. При перемене порядка интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный:
.
4. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых а, b и с справедливо
.
5. Обе части неравенства можно почленно интегрировать, т.е. если для всех , то
.
6. Для определенный интеграл становится функцией от переменного верхнего предела . Производная этой функции равна значению подынтегральной функции в точке :
.
7. Теорема о среднем. Если функция непрерывна на , то существует точка такая, что
.
Значение называется средним значением функции на .
у
В
А
Площадь криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием и высотой, равной значению функции в точке .
Геометрически теорема о среднем означает, что на отрезке найдется такая точка, что площадь под кривой на этом отрезке будет равна площади прямоугольника со сторонами и .
3. Формула Ньютона-Лейбница
Формула Ньютона-Лейбница связывает неопределенный и определенный интегралы.
Если функция непрерывна на , а функция - одна из ее первообразных, т.е. , тоопределенный интеграл от функции f(х) на [а, b] равен приращению первообразной F(х) на этом отрезке, то есть
.
Эта формула сводит нахождение определенного интеграла к нахождению неопределенного интеграла.
Разность называется приращением первообразной и обозначается .
Подчеркнем, что при применении формулы Ньютона-Лейбница можно использовать любую первообразную для подынтегральной функции, например, имеющую наиболее простой вид при С = 0 (в дальнейшем не будем записывать константу при нахождении неопределенного интеграла, поскольку будем считать ее равной нулю).
14. Особенности вычисления определенных интегралов.
При замене переменных (подстановках) | При интегрировании по частям |
Замена переменных, в отличие от неопределенного интеграла, предполагает не только замену подынтегрального выражения, но и замену пределов интегрирования. | Не следует забывать, что определенный интеграл – это число, при интегрировании по частям пределы интегрирования подставляют во все найденные функции. |
; где новые пределы интегрирования находят как корни уравнений: ; . |
15. Применение определенных интегралов для вычисления площадей плоских фигур.
Как следует из геометрического смысла определенного интеграла, для неотрицательной подынтегральной функции интеграл есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезками прямых и кривой . .
В общем случае, когда фигура ограничена сверху кривой , а снизу - , формула для вычисления площадей принимает вид
. В этой формуле знаки функций и значения не имеют.
а) Формула площади в декартовых координатах.
Итак, если ограничивающие кривые заданы в декартовых координатах , то
.
б) Формула площади для кривой, заданной параметрически.
Если - параметрические уравнения гладкой замкнутой кривой, пробегаемой против часовой стрелки и ограничивающей слева от себя область , то площадь области
= , или
.
в) Формула площади в полярной системе координат.
Если - непрерывная функция при , то площадь области
вычисляется по формуле
.
ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. – М.: Айрис-
пресс, 2004.
2. Высшая математика для экономистов: Учебник. /Под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. – М.:
ЮНИТИ-ДАНА, 2007.
3. Высшая математика для экономистов: Практикум. /Под ред. Проф. Н.Ш. Кремера. –
М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.
Дополнительная
1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и
задачах. В 2-х частях. – М.: Высшая школа, 2005.
2. Шипачев В. Е. Основы высшей математики. – М.: Высшая школа, 1998.