Практическая работа № 13
Тема: Нахождение асимптот кривой.
Цель: Проверить на практике знания понятия производной функции, умение применять их для решения задач, умение находить асимптоты функции.
Теоретический материал и примеры нахождения асимптот функции.
Существует три вида асимптот: горизонтальные, вертикальные и наклонные.
Вертикальная асимптота .
Определение. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов (правый предел) или (левый предел) равняется или , т.е. (рис. 2).
Очевидно, прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывная в точке , потому что в этом случае . Итак, вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения , если и - конечные числа.
Горизонтальная асимптота .
Определение. Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если существуют конечные пределы или (рис. 3).
Если конечен только один из пределов или , то функция имеет лишь одну правостороннюю или левостороннюю горизонтальную асимптоту. Если = = , то говорят просто о горизонтальной асимптоте. В том в случае, когда , то функция не имеет соответствующей горизонтальной асимптоты, но может иметь наклонную асимптоту.
Наклонная асимптота .
Определение. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если функция определена при достаточно больших и существуют конечные пределы (рис. 4).
Если, хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, то график исследуемой функции не имеет соответствующей наклонной асимптоты.
Методические рекомендации решения задач
Пример № 1. Найти вертикальные и горизонтальные асимптоты графика функции
Решение.
Очевидно, что область определения функции . Вертикальные асимптоты ищем в точках разрыва функции . Таким образом, прямая может быть вертикальной асимптотой данной функции. Вычисляем границы
и Из этого вытекает, что прямая является вертикальной асимптотой графика исследуемой функции.
Найдем горизонтальную асимптоту . Вычисляем пределы, используя правило Лопиталя. Получим
= . Поэтому, что = = , то график функции имеет только одну горизонтальную асимптоту.
Пример № 2. Найти асимптоты графика функции
Решение.
Очевидно, что график функции не имеет ни вертикальных асимптота (нет точек разрыва), ни горизонтальных асимптот .
Найдем наклонную асимптоту. Вычисляем границы и , .
Таким образом, правая наклонная асимптота имеет вид . Очевидно, что левая наклонная асимптота будет иметь те же значения, что и правая, а это значит, что график исследуемой функции имеет одну наклонную асимптоту.
Пример № 3. Найти асимптоты графика функции
Решение: Исследуем функцию сначала на наличие наклонной асимптоты. Найдем и пределы
, .
Прямая является наклонной асимптотой графика функции при , а также прямая также является асимптотой графика функции при . Проверим наличие вертикальных асимптот.
Точка является точкой разрыва функции. Найдем предел
, он равен бесконечности, поэтому прямая (ось ) является вертикальной асимптотой.
Построение асимптот видим на рисунке
Пример № 4. Найти асимптоты графика функции .
Решение: Найдем пределы и
, вычислив, получим .
Подставляя найденные значения и в уравнение наклонной асимптоты, получим уравнение . Точка это точка разрыва функции. Найдём предел , поэтому прямая является вертикальной асимптотой.
Самостоятельная работа
1 Вариант | 2 Вариант |
1. Найти вертикальные и горизонтальные асимптоты графика функции 2. Найти асимптоты графика функции . | 1. Найти вертикальные и горизонтальные асимптоты графика функции 2. Найти асимптоты графика функции . |
Контрольные вопросы:
1. Что называется асимптотой?
2. Что называется горизонтальной асимптотой?
3. Что называется вертикальной асимптотой?
4. Что называется наклонной асимптотой?