Теоремы об арифметических свойствах пределов последовательностей.
Имеют место следующие арифметические свойства пределов вещественных последовательностей:
Признаки существования предела последовательности
1Теорема (признак существования предела). Теорема Вейерштрасса Если последовательность {an} монотонна и ограничена, то она имеет предел.
2Теорема (признак существования предела).или теорема о двух милиционерах. Если одна
последовательность заключена между двумя другими, имеющими одинаковый предел, то она имеет тот же предел.
3Критерий Коши:Для существования предела последовательности {Xn}, необходимо и достаточно, чтобы для любого эпсилон>0 существовало N=N(эпсилон) такое, что для всех n>N и p>0, |Xn-X(n+p)|<эпсилон.
Замечательный предел типа e
Вторым замечательным пределом называется предел Число, заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натуральных логарифмов. Второй замечательный предел существует. Его значение -- число, лежащее между 2 3/7 и 3. Более подробное изучение числа показывает, что -- иррациональное число и доказывается это с помощью формулы Бинома Ньютона.
Предел функции в точке.
Имеется также определение предела функции, при стремлении
аргумента к определенному значению а, называемого пределом функции в
точке. Число A называется пределом функции y = f(x) при x → a, если для любого, даже сколь угодно малого положительного для любого, даже сколь угодно малого ε > 0, найдется такое число δ > 0 (зависящее от ε), что для всех x из δ-окрестности точки a, выполнено неравенство: Это определение называется определением на языке ε и δ,предложено французским математиком Огюстеном Коши и используется с начала XIX века по настоящее время, поскольку обладает необходимой математической строгостью и точностью.
Запишем на языке кванторов определение предела функции в точке:
25. определение предела функции на языке
Геометрический смысл предела функции в точке
Выясним, в чем заключается геометрический смысл предела функции
в точке. Построим график функции y=f(x) и отметим на нем точки
x=a и y=A.
Предел функции y=f(x) в точке x стремящееся к а существует и равен A, если
для любой ε-окрестности точки A можно указать такую δ-окрестность точки
a, что для любого x из этой δ-окрестности значение f(x) будет находиться в
ε-окрестности точки A.
Отметим, что по определению предела функции в точке для
существования предела при x → a не важно, какое значение принимает
функция в самой точке a. Можно привести примеры, когда функция не
определена при x=a или принимает значение, отличное от A. Тем не
менее, предел может быть равен A.
Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.
Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то
Теорема 1. Алгебраическая сумма двух, трех и вообще любого конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.
Теорема 2. Произведение бесконечно малой функции a(x) на ограниченную функцию f(x) при x→a (или при x→∞) есть бесконечно малая функция.
Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.
Функция называется бесконечно большой при x стремящееся a или в точке a, если для любого положительного числа e найдется такое положительное d(e), что для всех x удовлетворяющих условию |x-a|<d будет выполнено неравенство |f(x)|>e.
28. свойства функций имеющих предел
29. односторонние пределы функции в точке
41. Определение производной
42. Производная как скорость изменения функции
43. Геометрический смысл производной
44. Связь между непрерывностью и существованием производной
45. Правило вычисления производной от суммы, произведения и частного функций
46. Производная сложной функции
47. Нахождение производных от основных элементарных функций
48. Бином Ньютона
49. Теорема Лагранжа о конечном приращении функции на отрезке
50. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей
51 понятие о дифференциале функции
52. Геометрический смысл дифференциала функции
53. Связи дифф. И и производной функции
54. свойства дифференциала
55. Таблица дифференциалов
56. Теоремы о первообразных функции
Теорема. Любая непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) имеет на этом отрезке первообразную F(x).
Теорема. Если F1(x) и F2(x) – две различные первообразные одной и той же функции f(x) на множестве х, то они отличаются друг от друга постоянным слагаемым, т. е. F2(x)=F1(x)+C, где С – постоянная.
57. Определение и свойства неопределенного интегралда от функции
58. таблица простейших неопределенных интегралов
59. Метод подстановки вычислений неопределенного интеграла
60.Метод взятия интеграла по частям