Программные требования:
В процессе изучения умножения и деления многозначных чисел учащиеся должны усвоить
- основные устные и письменные приемы умножения и деления,
- овладеть соответствующими вычислительными умениями и навыками, расширить, углубить и систематизировать знания о действиях умножения и деления, их свойствах, о взаимосвязях между результатами и компонентами действий, об изменении произведения и частного при изменении одного из компонентов.
Приемы умножения и деления многозначных чисел существенно различны и значительно сложнее приемов сложения и вычитания многозначных чисел. Поэтому приемы умножения и деления многозначных чисел вводятся перемежаясь, при этом выделяются три этапа:
I этап - умножение и деление на однозначное число;
II этап — умножение и деление на двузначные и трехзначные разрядные числа;
III этап — умножение и деление на двузначное на «трёхзначное" число.
На каждом из данных этапов сначала изучается умножение, а затем деление.
На каждом этапе наряду с умножением или делением натуральных чисел изучается умножение или деление величин на число.
В умножении и делении многозначных чисел выделяют частные случаи. К частным случаям умножения относят случай с нулями (нулем) в множителях: первый или второй множитель оканчивается нулями (87 600-4 и 376 -240), нули в середине второго множителя (875-304), а также различные сочетания этих случаев (170-230; 1360-103). К частным же случаям деления относят случаи с нулями (нулем) в частном: частное оканчивается нулями (227 200:4 = 56 800); нули в середине частного (72 450:7=10350).
Умножение многозначных чисел на однозначное число.
Подготовительная работа к изучению письменного умножения сводится к повторению и обобщению ранее изученного материала..
В это время обобщаются знания учащихся о конкретном смысле действия умножения. Выполняя упражнения на замену суммы одинаковых слагаемых произведением и, обратно, произведения суммой, учащиеся, поясняют: умножить число 1,5 на 3 — значит взять число 15 слагаемым три раза: 15*3=15+15 + 15; умножить число а на 4 — значит взять его слагаемым 4 раза: а* 4= а + а +а + а. Обобщению знаний способствует решение простых задач на умножение с буквенными данными, а также составление задач по выражениям вида a*b
Повторяются случаи умножения с единицей и нулем. Выполняя упражнения вида: 1 *12, 1*а, 14*1, с*1, 0*15, O*k, 13*0, b*0, учащиеся повторяют правила умножения чисел с единицей и нулем.
Рассматривается умножение разрядных чисел на однозначное: 400-2, 6000-3, 50000-7.
Включается умножение двузначного числа на однозначное, при этом учащиеся повторяют свойство умножения суммы на число: 13-4=(10+3).4-10-4 + 3-4-52.
Затем учащимся предлагается проверить, применимо ли известное им свойство, если в сумме не два, а три, четыре и более слагаемых. Берутся упражнения с небольшими числами, например:
1) (8 + 5 + 4)-3=17-3 = 51
2) (8+5 + 4)jM-3 + 5-3 + 4-3 = 51
Вычислив разными способами значения выражений, дети убеждаются, что умножение на число суммы трех, четырех и более слагаемых можно выполнить по известному им правилу: найти сумму и умножить ее на число или умножить каждое слагаемое этой суммы на число и полученные результаты сложить. Свойство умножения суммы на число на данной ступени изучения умножения учащиеся могут применить самостоятельно к устному умножению многозначных чисел на однозначное, например:
2100-3= (2000+100)-3 = 2000-3+100-3 = 6300 6007-4» (5000+7) -4-= 5000-4 + 7-4 = 20 028
Переход от устного умножения к письменному необходимо
построить так, чтобы учащиеся поняли, что сущнось вычислительного приема как при устном, так и при письменном умножении на однозначное число одна и та же: в обоих случаях
используется свойство умножения суммы на число, но письменное умножение начинается с низших разрядов, устное — с высших. Кроме того, дети должны осознать, что к письменному умножению обращаются в том случае, когда устно вычислять трудно.
418-3= (400+10+8)-3 = 400-3+10-3 + 8-3=-«.1200 + 30 + 24=1254
Далее предлагается решить еще раз этот же пример, переставив разрядные слагаемые:
418-3= (8+10 + 400) -3 =
= 8-3+10-3 + 400-3-24 + 30+1200= 1254
МЕТОДИКА После этого учитель знакомит учащихся с письменным умножением на однозначное число: показывает новую запись столбиком и дает подробное объяснение решения этого же примера. Надо умножить 418 на 3. Записываем второй множитель под единицами первого множителя. Проводим черту. Слева ставим знак умножения «X» (надо пояснить детям, что умножение обозначается не только точкой, но и таким знаком, хотя и здесь можно использовать точку).
Начинаем письменное умножение с единиц. Умножаем 8 единиц на 3, получается 24 единицы. Это два десятка и 4 единицы. 4 единицы пишем под единицами, а 2 десятка запомним, 1 десяток умножим на 3, получим 3 десятка, да еще 2 десятка, получим 5 десятков. Пишем их под десятками, 4 сотни умножаем на 3, получим 12 сотен. Это 1 тысяча и 2 сотни. 2 сотня пишем под сотнями и 1 тысячу пишем на месте тысяч. Произведение 1254.
От подробного объяснения решения примеров учащиеся под руководством учителя переходят к краткому объяснению, когда опускается название разрядных единиц и выполняемых преобразований, например:
Надо умножить 578 на 4. Умножаю 8 на 4, получится 32.пишу, а 3 запоминаю. 7 умножу на 4, получится 28,да 3. Всего 31 пишу, а 3 запоминаю. Умножаю 5 на 4, получится 20, да 3. Всего 23; записываю 23. Произведение 2312. Можно объяснить и так: четырежды восемь — тридцать два. 2 пишу, 3 запоминаю. Четырежды семь — двадцать восемь и т. д. Запись можно выполнять и в строчку: 578-4 = = 2312.
В начале изучения темы учитель сам сообщает ученикам, что письменное умножение на однозначное число начинается с единиц а позднее разъяснить, почему"письменное умножение, подобно сложению и вычитанию, начинают с низшего, а не с высшего разряда. С этой целью один и тот же пример решают двумя способами:
Рассмотрим случаи с нулями в первом множителе. Пусть надо 42 300 умножить на 6.
Объяснение: подписываю второй множитель 6 под первой отличной от нуля цифрой первого множителя, под цифрой 3; в числе 42 300 содержится 423 сотни; умножаем 423 сотни на 6, получится 2538 сотен, или 253 800.
При решении аналогичных примеров с подробным объяснением надо обратить внимание детей, что в таких случаях выполняют умножение, не обращая внимания на нули, записанные в конце первого множителя, и к полученному произведению приписывают справа столько же нулей, сколько их записано в конце первого множителя. При этом ведется краткое объяснение: трижды шесть—18, восемь пишу, 1 запоминаю, дважды шесть... припишу справа два нуля, получится 253 800.
На данном этапе следует предлагать учащимся и умножение однозначных чисел на многозначные: 9-136, 4-2836, 7-1230. При решении таких примеров используется переместительное свойство умножения: 136-9, 2836-4, 1230-7.
Вслед за умножением на однозначное число натуральных чисел дается умножение величин, выраженных в метрических единицах, например: 9 Т 438 кг-3; 7 км 438 м-6. Эти примеры можно решать по-разному: сразу выполнить умножение или сначала заменить величины, выраженные в единицах двух наименований, величинами одного наименования и выполнить действие:
Первый способ чаще применяется на практике при умножении величин, выраженных в единицах стоимости (18 руб. 25 коп.-•3=18 руб.-3 + 25 коп.-3 = 54 руб. 75 коп.). Второй же способ используется при решении задач, а также в дальнейшем при умножении величин на любое двузначное и трехзначное число. Умножение на разрядные числа. После того как учащиеся твердо усвоят умножение на однозначное число, рассматриваются приемы умножения на 10, 100, 1000, а затем на 40, 400, 4000.
Умножение на 10, 100, 1000 здесь рассматривается в порядке повторения. Впервые этот прием раскрывается в связи с изучением нумерации многозначных чисел (см. с. 125).
При умножении на двузначные — четырехзначные разрядные числа используется свойство умножения числа на произведение, например: 14х60= 14 х(6х10) = 14х6х10 = 840.
Для знакомства с этим свойством учащимся предлагается вычислить разными способами значение выражения 16х(5х2). Под руководством учителя они находят значение выражения такими способами:
16- (5-2) = 16-10=160
16- (5-2) = (16-5) -2 = 80-2=160 16- (5-2) = (16-2) -5==32-5=160
Учащиеся замечают, что в первом случае они умножили число 16 на произведение чисел 5 и 2; во втором — число 16 умножили на первый множитель 5 и полученное произведение умножили на второй множитель 2; в третьем — число 16 умножили на второй множитель 2 и полученное произведение умножили на первый множитель 5; значения выражений одинаковые. После выполнения нескольких таких упражнений учащиеся формулируют свойство: «Чтобы умножить число на произведение, можно найти произведение и умножить число на полученный результат, а можно умножить число на один из множителей и полученный результат умножить на другой множитель».
ЭТАП
Предварительно вводятся подготовительные упражнения на
замену разрядных чисел произведением однозначного числа и
10 (100, 1000), например: 70=7Х0, 600=6Х100.,далее рассматриваются устные приемы умножения на разрядные числа. Например, надо 15 умножить, на 30; представим число 30 в виде произведения удобных множителей 3 и 10, получим пример: 15 умножить на произведение чисел 3 и 10; здесь удобнее умножить число 15 на первый множитель:—на 3 и полученный результат 45 умножить на второй множитель — на 10, получится 450. Запись:
15-30= 15- (3-10) - (15-3) • 10-450
После изучения приемов устного умножения на разрядные числа вводятся приемы письменного умножения. Предлагается решить пример 546-30.
Будем вычислять письменно, запишем пример так: у 546 Число 546 сначала умножим на 3 и полученный результат умножаем на 10. Умножаем 546 на 3:
3ЭТАП
Умножение на трехзначные и четырехзначные разрядные числа выполняется так же, как и умножение на двузначные разрядные числа.
Особого внимания заслуживают те случаи, в которых оба множителя оканчиваются нулями, например: 20-30, 400-50, 800-70, 4000-60 и т. д. Сначала при решении таких примеров учащиеся рассуждают следующим образом: чтобы умножить 300 на 50, надо 3 сотни умножить на 5, а затем полученное число умножить на 10, будет 150 сотен, или 15000. Такие примеры записываются в строчку и решаются устно.
Аналогичным образом рассуждают ученики и при письменном умножении в том случае, когда оба множителя оканчиваются нулями.
Наблюдая за выполнением умножения чисел, оканчивающихся нулями, ученики приходят к выводу, что сначала в этих случаях надо умножать числа, которые получатся, если отбросить эти нули, а затем к полученному произведению приписать справа столько нулей, сколько их записано в конце обоих множителей вместе. В дальнейшем при умножении чисел, оканчивающихся нулями, учащиеся руководствуются этим выводом.
Умножение на двузначное и трехзначное число. Умножение на двузначное и трехзначное число рассматривается на основе свойства умножения числа на сумму.
Полезно начать работу с устного умножения двузначного числа на двузначное. Для ознакомления с приемом подбираются более легкие случаи, например:
16; 12= 16-(10+2)* 16-10+16-2= 160+32= 192 Затем надо предложить более трудный случай, например: 87х64 = 87х(60+4) =87х60 + 87-4
Дети убеждаются, что устно решить такой пример трудно. Учитель предлагает выполнить вычислении письменно:
87 х 87 5220
+ 348
Х 60 4 5568
5220 348
Далее учитель показывает более короткую запись и дает соответствующее объяснение;
Здесь 87 и 64 — множители, 348— первое неполное произведение, 5220— второе неполное произведение, 5568— окончательный результат или произведение чисел 87 и 64.
После решения нескольких примеров (134-46, 268-37, 451-32) учитель обращает внимание учащихся на особенность второго неполного произведения: оно всегда оканчивается нулем, следовательно, при сложении неполных произведений единиц всегда будет столько, сколько их в первом неполном произведении, значит, нуль можно не писать, а второе неполное произведение начинать записывать под десятками.
Так же ведется объяснение умножения на трехзначное число.
После умножения на двузначное и трехзначное число натуральных чисел вводится умножение величин, выраженных в единицах двух наименований. При этом используется один способ: величину, выраженную в единицах двух наименований, выражают в единицах одного наименования, умножают эту величину на число и результат выражают в единицах двух наименований, например:
При изучении всех случаев умножения прежде всего необходимо добиться понимания вычислительного приема, после чего вести работу по формированию вычислительных
правила порядка выполнения действий; этому Способствуют упражнения: «Запишите выражения и найдите их значения — к числу 803 прибавьте произведение чисел 254 и 30; произведение чисел 425 и 168 увеличьте на их