Вычисление площади плоской фигуры
(задание 5)
С помощью определенного интеграла вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.
Вычисление плоской фигуры в декартовой системе координат
Пусть на отрезке задана непрерывная функция , причём . Фигура, ограниченная сверху графиком , снизу – осью Оx, сбоку прямыми , (рис. 1а), называется криволинейной трапецией.
Геометрическим смыслом определённого интеграла являетсяплощадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле
.
Если фигура, площадь которой необходимо вычислить, ограничена сверху графиком функции , снизу – графиком функции , а сбоку прямыми , (рис 1.б), то её площадь вычисляется по формуле
.
Частным случаем при этом является нахождение площади фигуры, ограниченной сверху осью Оx, снизу – графиком функции , а сбоку прямыми , (рис 1.в). В этом случае, в предыдущую формулу следует подставлять , тогда формула для вычисления площади такой фигуры имеет вид
.
В некоторых случаях, чтобы вычислить площадь искомой фигуры, необходимо разбить ее на сумму или разность двух или более криволинейных трапеций (рис. 1г).
, где , .
а) б) в) г)
Рис. 1
Пример 25
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций , .
Решение
1. Вершиной параболы является точка
2. Точки пересечения параболы и прямой находятся из системы
3. Используя найденные точки, строим графики заданных функций в декартовой системе координат.
4. Сверху фигура ограничена прямой , значит , снизу – параболой, значит .
По графику видно, что , .
1способ: площадь полученной фигуры можно вычислить по формуле:
Рис. 2
2 способ: полученная фигура симметрична, значит
Пример 26
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой , прямыми , и осью Оx.
Решение
1. Вершиной параболы является точка
Замечание: координаты вершины параболы , находятся по формулам
2. Точка пересечения параболы и прямой находится из системы
Точка пересечения параболы и прямой находится из системы
Точки пересечения параболы с осью Оx () находятся из системы
3. Используя найденные точки, строим графики заданных функций в декартовой системе координат.
4. Площадь искомой фигуры складывается из площадей и .
Рис. 3
Если фигура, площадь которой необходимо вычислить, ограничена слева осью Oy, справа – графиком функции , а снизу и сверху прямыми , соответственно (рис. 4а), то её площадь вычисляется по формуле
.
Если фигура, площадь которой необходимо вычислить, ограничена слева графиком функции , справа – графиком функции , а снизу и сверху прямыми , соответственно (рис. 4б), то её площадь вычисляется по формуле
.
а) б)
Рис. 4
Пример 27
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой , прямой и осями координат.
Решение
1. Вершиной параболы является точка
Замечание: координаты вершины параболы , находятся по формулам
2. Точка пересечения параболы и прямой находится из системы
Точка пересечения параболы с осью Оx () находится из системы
Точка пересечения параболы с осью Оy () находится из системы нет решения
3. Используя найденные точки, строим графики заданных функций в декартовой системе координат.
Рис. 5
4. Слева фигура ограничена параболой, справа – осью Oy, снизу – прямой , сверху – осью Оx Таким образом, подставляя в формулу 6: , , , , получим
Вычисление площади плоской фигуры в полярной системе координат
Возьмём на плоскости произвольную точку О (полюс) и проведём луч Ох (полярная ось). Примем какой-либо отрезок ОА за единицу длины и какой-либо угол (обычно берётся радиан) за единицу измерения углов. Тогда положение любой точки М на плоскости можно задать двумя числами:
1. числом – полярный угол (он имеет положительное значение при повороте против часовой стрелки);
2. положительным числом – полярный радиус.
Пара чисел – это полярные координаты точки М.
Каждой паре значений отвечает только одна точка, но одной и той же точке М отвечает бесчисленное множество значений полярного угла, отличающихся друг от друга на число, кратное .
а) б)
Рис. 6
Связь между полярными и прямоугольными координатами
Из треугольника OMK (рис. 6а) получаются следующие соотношения:
– переход из декартовой в полярную систему координат
, ;
– переход из полярной в декартову систему координат
, , .
Вычисление площади фигуры в полярной системе координат
Площадь сектора, ограниченного кривой , лучами , , где (рис. 6б), находится по формуле .
Пример 28
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции .
Решение
Чтобы найти пределы интегрирования и , необходимо построить график кривой в полярных координатах. Результаты вычислений занесем в таблицу 3.
Таблица 3
-10 | |||||||||
-10 | -10 |
По данным этой таблицы построим график функции, откуда видим, что площадь искомой фигуры .
Рис. 7