Семестр ФПМК ТГУ
Глава 1. Элементы теории множеств и комбинаторики | 3-4 недели |
Глава 2. Числовые системы. | 4-5 недель |
Глава 3. Многочлены и их корни. | 6 недель |
(Глава 4). Линейные операторы и квадратичные формы. | 2 недели |
Глава 1. Элементы теории множеств и комбинаторики.
Элементы теории множеств. Множество, натуральные числа, принцип индукции, равномощность, сравнение множеств по мощностям. Теорема Кантора- Бернштейна. Счётные множества, несчётные множества, операции над мощностями. Аксиомы теории множеств.
Частично упорядоченные множества. Фундированные множества.
Основные комбинаторные принципы. Наборы, размещения и сочетания. Биномиальная формула. Биномиальные коэффициенты. Числа Стирлинга 1 и 2 рода. Числа Белла. Задача о беспорядках. Задача о числе разбиений.
Принцип (формула) включения и исключения. Арифметические функции и принцип обращения Мёбиуса. Подстановки на конечном множестве. Инверсии. Чётность. Порядок. Декремент. Матрица подстановки. Разложение в произведение циклов. Орбита элемента и неподвижная точка подстановки.
Глава 2. Числовые системы.
Числовые системы (кольца целых чисел, классов вычетов целых чисел, целых р-адических чисел, поля рациональных, действительных н комплексных чисел, алгебра кватернионов)
Арифметика целых чисел. Целые числа: отношение делимости, наибольший общий делитель, деление с остатком. Алгоритм Евклида, расширенный алгоритм Евклида, простые числа и основная теорема арифметики.
Отношение сравнимости целых чисел по модулю. Кольцо классов вычетов целых чисел.
Обратимые классы вычетов (было 1 сем).
Функция Эйлера и её мультипликативность. Теорема Эйлера. Малая теорема Ферма. Теорема Вильсона. Решение систем сравнений. Китайская теорема об остатках.
Кольцо и поле р-адических чисел.
Комплексные числа и кватернионы. Комплексные числа. Алгебраическая форма. Комплексные числа. Тригонометрическая форма. Группа корней из 1.
Евклидово и унитарное пространство.
Гауссовы числа.
Глава 3 Многочлены и их корни.
Многочлены над полем (деление с остатком, алгоритм Евклида и расширенный алгоритм Евклида, основная теорема арифметики, арифметика остатков, построение конечных полей)
Многочлены и формальные степенные ряды одной переменной над коммутативным
кольцом. Основные свойства сложения и умножения многочленов. Степень суммы и
произведения многочленов. Теорема о делении с остатком. Разложение по степеням
фиксированного многочлена положительной степени.
Многочлены нескольких переменных над коммутативным кольцом. Соотношения для
степеней.
Многочлены над полем: отношение делимости, наибольший общий делитель, деление с остатком, алгоритм Евклида, расширенный алгоритм Евклида, неприводимые многочлены:
и основная теорема арифметики для многочленов одной переменной над полем.
Отношение сравнимости по модулю в кольце многочленов одной переменной над полем. Кольцо классов вычетов многочленов. Обратимость многочленов по модулю.
Расширение поля путём присоединения корня неприводимого многочлена.
Метод Кронекера разложения в конечное число шагов.
Корни многочленов
Корни многочленов одной переменной над целостным кольцом: теорема Безу, схема Горнера, кратные корни, теорема о числе корней.
Производная многочлена. Производная многочлена и кратные корни многочленов одной переменной над полем: критерий существования кратного корня. Производная и кратные множители, кратные корни над полем нулевой характеристики. Свободная от квадратов часть многочлена.
Метод Штурма отделения корней.
Методы интерполяции многочленов одной переменной над полем: метод Лагранжа,
метод Ньютона, интерполяция посредством решения системы линейных алгебраических
уравнений (метод неопределенных коэффициентов).
Симметрические многочлены над полем. Элементарные симметрические многочлены.
Основная теорема (теорема Гаусса) о симметрических многочленах. Представление симметрических многочленов через элементарные.
Результант двух многочленов одной переменной над полем. Основные свойства результанта. Результант многочленов как симметрическая функция корней.
Дискриминант. Выражение дискриминанта в виде результанта.
Формулы Виета.
Полиномиальные функции над целостным кольцом, бесконечным и конечным (полем).
(Глава 4. Линейные операторы и квадратичные формы (возможно, на 3 семестр).
Матрица линейного оператора. Собственные значения и собственные векторы, их свойства. Диагонализируемые операторы. Билинейная, квадратичная форма. Приведение квадратичной формы к главным осям.