Для динамических систем характерным является изменение скорости и ускорения. Например, когда речь идёт об управлении динамическими системами, то возникает необходимость оценивания скоростей и ускорений, которые, как известно, связаны с производными первых двух порядков.
- скорость изменения процесса;
- ускорение изменения процесса.
Существенное значение имеет прогноз поведения исследуемого объекта, например, с целью упреждения стрельбы по нему или коррекции траектории полёта в автоматическом режиме. Тогда могут потребоваться производные больших порядков, чтобы их можно было использовать в формуле Тейлора.
Проблема оценивания производных отягощается тем, что реально эмпирические данные известны только в дискретном наборе точек, следовательно, нельзя воспользоваться предельным переходом.
Надо иметь средства для вычисления оценок производных.
Рассмотрим стандартную задачу оценки производных сигнала по его дискретным значениям.
Пусть заданы значения Uk, k=0,..,N в каком –то наборе точек в области определения. Предполагаем, что Uk=U(tk) – выборка из некоторого неизвестного. Предположим, что неизвестная U(t) обладает некоторыми свойствами, которые вытекают из физических соображений, а именно, что функция имеет ограниченную норму.
(3.11)
U(t) – непрерывная и обладает непрерывными производными любого порядка.
Производные определяют скорость нарастания функции.
Физические соображения основываются на конечности энергии генерирующего данные объекта и его инерционности, обосновывают утверждение о свойствах функции, выборка значений из которых представляет набор эмпирических данных. Следовательно, возможность оценивания производных вытекает из этих свойств, то есть не противоречит физической природе эмпирических данных.
В свою очередь, необходимость получения таких оценок может быть продиктована теми целями, в соответствии с которыми эмпирические данные регистрируются. Например, для управления какими –то процессами, так как первые две производные имеют физический смысл.
Основные приёмы оценивания производных:
- Метод аналогий
Разделённая разность:
Общий вид:
(3.12)
(3.13)
^ - означает оценку производных
Аналогом:
(3.14)
(3.15)
(3.16)
Несмотря на кажущуюся естественность и простоту вычислительных процессов, метод аналогий не всегда даёт хороший результат, в частности даже первые разности (то есть оценки первой производной) являются весьма чувствительными к влиянию шумов регистрации данных.
Так же на конечные разности сильно влияет погрешность вычислений.
- Аналитический подход
Когда производная неизвестной искомой функции отождествляется с производной интерполирующей функции.
Таким образом, используемый класс интерполирующих функций должен допускать дифференцирование в аналитической форме соответствующее количество раз. В частности, если речь идёт о сплайнах m – ого порядка, то продифференцировать можно m – раз.
Если интерполирующая функция хорошо приближает исходную, то есть отклонение невелико, то того же чаще всего нельзя сказать относительно производных.
Таким образом, остаётся необходимость поиска и предложения других методов, как интерполяции функции, так и оценивания производных.