Представление правильной дроби в виде суммы простейших дробей.
Всякую правильную рации+ональную дробь P(x)/Q(x) знаменатель которой разложен на множители Q(x)=(x-x1 )k1 * (x-x2)k2 …(x2-p1x+q1)s1… можно представить в виде следующей суммы простейших дробей P(x)/Q(x)= A/x-x1 + A2/(x-x2)2 + … Ak /(x-x1)k1 +B1/(x-x2)…(C1x-D1)/(x2+p1x+q1)… где A,B,C,D некоторые действительные коэфициенты
2 Первообразная. Основные понятия. Теорема о двух первообразных.
Функция F(х) называется первообразной функции f(x) на интервале (а; в), если для любого х? (а; в) выполняется равенство F'(х) = f(x) (или dF(x) = f(x) dx).
Если функция F(х) является первообразной функции f(x) на (а; b), то множество всех первообразных для f(x) задается формулой F(х) + с, где С - постоянное число.
Функция F(х) + С является первообразной f(x). Действительно, (F(х) + с)' =F'(х)=f(x).
Пусть Ф(х) - некоторая другая, отличная от Р(х), первообразная
функции f(x), т. е. Ф'(х) = f(x). Тогда для любого х?(а; Ь) имеем
(Ф(х) - f(х)' = Ф'(х) - F'(х) = f(x) - f(x) = О.
А это означает, что Ф(х) - Р(х) = с, где С - постоянное число. Следовательно, Ф(х) = F(х) + С.
Неопределенный интеграл, его свойства.
Множество всех первообразных функций F(x) + С для f(x) называется неоnределенным интегралом от функции f(x) и
обозначается символом ∫ f(x) dx.Таким образом, по определению ∫ f(x)dx = F(x)+С
~ Здесь f(x) называется nодъtнтегральной функцией., f(x) dx -
nодынтегральным выражением, х - переменной. интегри-
рования, ∫ - знаком,м неоnределенного интеграла.
Свойства: 1)Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынте
гральному выражению, а производная неопределенного интеграла рав
на подынтегральной функции:
d(∫f(x) dx) = f(x) dx, (∫ f(x) dx)ꞌ = f(x).
2) 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции
равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
∫ dF(x) = (х) F + С.
з. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
∫ af(x) dx = а· ∫ f(x) dx, а ≠0- постоянная.
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного
числа непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов
слагаемых функций:
∫ f(х) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx.
5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если ∫f(x) dx =
= F(x) + с, то и ∫ f(u) du = F(u) + с, где u = р(х) - произвольная
функция, имеющая непрерывную производную.
5555 %5555
Таблица неопределенных интегралов.
5 Простейшие методы интегрирования. Введение переменного множителя под знак дифференциала.
∫k f(x)dx = k ∫ f(x)dx
∫(f(x)+g(x))dx=∫(f(x)+∫g(x))dx
∫(f(x)-g(x))dx=∫(f(x)-∫g(x))dx
∫f(ax+b)dx=1/aF(ax+b) +C
f ꞌ(u)du=d(f(u))
6 Интегрирование путем замены переменной.
Пусть требуется вычислить интеграл ∫ f(x) dx. Сделаем подстановку х = <p(t), где p(t) - функция, имеющая непрерывную производную.Тогда dx = p'(t) dt и на основании свойства инвариантности форулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой
1∫ f(x) dx = ∫ f(p(t)) *p'(t) dt
7 Интегрирование по частям в неопределенном интеграле
Пусть U= и(х) и v = V(X) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда d(uv) = U. dv + v. du. Интегрируя это равенство,получим
∫Udv=UV-∫Vdu
Полученная формула называется фор,м,у.лоi1. интегрирования
по Частям. Она дает возможность свести вычисление интегра-
U dv к вычислению интеграла ∫ v du, который может оказаться
существенно более простым, чем исходный.
Интегрирование квадратного трехчлена
Mx + N dx
х2 +px+q
Интегрирование рациональных дробей. Метод неопределенных коэффициентов
1. Если дробь неправильна, то представить· ее в виде суммы мно
гочлена и правильной дроби;
2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на мно
жители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дро
3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших
дробей. В правой части равенства P (x)/Q(x)= A/x-x1 + A2/(x-x2)2 + … Ak /(x-x1)k1 +B1/(x-x2)…(C1x-D1)/(x2+p1x+q1 ) приведем к общему знаменателю Q(x); в результате получим тождество P (x)/Q(x)=S(x)/Q(x), где S(x) -многочлен с неопределенными коэффициентами.
Так как в полученном тождестве знаменатели равны, то тожде
ственно равны и числители, т. е. Р(х) =S(x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (по те
ореме о тождестве многочленов) в обеих частях тождества Р(х) =S(x)
получим систему линейных уравнений, из которой и определим искомые коэффициенты A 1, А 2, …, B 1…
10 Интегрирование рациональных дробей. Метод частных значений. 1. Если дробь неправильна, то представить· ее в виде суммы мно
гочлена и правильной дроби;
2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на мно
жители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дро
3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших
дробей.
Для нахождения неопределенных коэффициентов применяют также метод отдел'Ьных значений аргумента: после получения тождества Р(х) =S(x) аргументу х придают конкретные значения столько раз,
сколько неопределенных коэффициентов (обычно полагают вместо х
значения действительных корней многочлена Q(x)).
11 Понятие определенного интеграла. Интегральная сумма Римана. Пусть функция у = f(x) определена на отрезке [а; Ь],а < Ь. Выполним следующие действия: 1. С помощью точек Х0 = а, Xl, Х2,..., Х n = Ь (Х0 < Хl <... < Х n разобьем отрезок [а, Ь] на n ~ частичных отрезков [Х0; Xl]' [Xl; Х2],...,[Xn-l'Х n ]
2. В каждом частичном отрезке [Xi-l; Xi], i = 1,2,..., n выберем
произвольную точку ci? [Xi-l; Xi] и вычислим значение функции в
т. е. величину f(сi).
3. Умножим найденное значение функции j(ci) на длину ∆Xi- Xi-l соответствующего частичного отрезка: f(ci). ∆xi·
4. Составим сумму Sn всех таких произведений:
Sn = f(c1)∆ Xl + f(c2)∆ X2 +... + f(cn)∆x n =Σi=1 n f(ci)∆Xi
Сумма вида Σi=1 n f(ci)∆Xi называется интегральной суммой функции
у = f(x) на отрезке [а; Ь]. Обозначим через λ длину наибольшего
частичного отрезка: λ = max∆Xi (i = 1,2,..., n).
5. Найдем предел интегральной суммы Σi=1 n f(ci)∆Xi когда n ∞ так,
λ О.Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел I, который не
зависит ни от способа разбиения отрезка [а; Ь] на частичные отрез
ни от выбора точек в них, то число I называется оnределеннsv
uнтегралом, от функции у = f(x) на отрезке [а; Ь] и обозначается
∫a b f(x) dx. Таким образом, ∫a b f(x) dx = lim Σi=1 n f(ci)∆Xi
λ →0
n→∞