Вычисление значений функций
При компьютерных вычислениях значений функций, заданных формулами, далеко не безразлично, в каком виде записана соответствующая формула. Математически эквивалентные выражения часто оказываются неравноценными с точки зрения практики вычислений. Рассмотрим приемы, сводящие вычисление некоторых функций к циклам из элементарных операций.
2.1. Вычисление значения многочлена по схеме Горнера
Пусть дан многочлен -й степени с действительными коэффициентами
,
где , .
Требуется найти значение при , т.е.
.
Если находить значения каждого члена и суммировать их, то при больших потребуется выполнить большое число операций ( умножений и сложений). Кроме того, это может привести к потере точности за счет погрешностей округления.
Схема Горнера – алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы одночленов, при заданном значении переменной.
Проиллюстрируем его идею на примере многочлена третьей степени:
.
Его можно представить в виде
.
В общем случае
.
Обозначим:
Отсюда, последовательно вычисляя числа
(1)
………………
,
находим .
Таким образом, вычисление значения многочлена сводится к вычислению совокупности
(2)
Вычисление значений многочлена по схеме Горнера требует выполнения умножений и сложений. Во многих практических расчетах применение правила Горнера не только экономит машинное время, но и повышает точность за счет уменьшения верхнего предела ошибки округления.
Вычисление значений рациональных дробей
Рациональной дробью называют отношение двух многочленов
,
где ,
.
Рациональная дробь называется правильной, если n < m, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если n ≥ m) дробь называется неправильной.
Пример. Указать, какие из приведённых ниже дробей являются рациональными. Если дробь является рациональной, то выяснить, правильная она или нет.
Пусть требуется вычислить значение в точке :
.
Числитель и знаменатель данной дроби можно найти, пользуясь схемой Горнера. Отсюда получаем простой способ вычисления числа
Вычисление значений показательной функции
Разложение функции в ряд Тейлора во многих случаях является удобным способом вычисления значений этой функции.
Для показательной функции справедливо разложение
(). (1)
Приближенное вычисление по формуле (1) для малых удобно производить по схеме
,
где
,
, .
Пусть – заданная допустимая погрешность вычислений, тогда процесс суммирования следует прекратить, как только будет выполнено неравенство
.
Пример. Найти с точностью до .
Пользуемся формулой
,
,
, .
Слагаемые будем подсчитывать с двумя запасными десятичными знаками.
Последовательно имеем
Округляя сумму до пяти десятичных знаков после запятой, получим
.
Вычисление значений синуса и косинуса
Для вычисления значений функций и пользуемся степенными разложениями
() (1)
() (2)
Ряды (1) и (2) при больших сходятся медленно, но, учитывая периодичность функций и и формулы приведения тригонометрических функций, легко заключить, что достаточно уметь вычислять и для промежутка
.
При этом используют следующие рекуррентные формулы
,
,
,
,
,
,
Т.к. в промежутке ряд знакочередующийся с монотонно убывающими по модулю членами, то для его остатка справедлива оценка
.
Аналогично для ряда (2)
.
Следовательно, процесс вычисления и можно прекратить, как только очередной полученный член ряда по модулю будет меньше допустимой погрешности .
Пример. Вычислить с точностью до
Получаем:
Сумма: 0,40515
Отсюда