Задание 1
N – номер варианта
| 1-5 | Компания производит игрушки. Выручка и издержки заданы соответственно функциями  ,  , где x- числоигрушек, произведенных за неделю. При каком объёме выпуска продукции прибыль будет наибольшей? Найти значение максимальной прибыли.
|
| 6-10 | Функция спроса для некоторого товара имеет вид 
0  , где p –цена единицы товара, а издержки равны  . Найти: а) максимальную прибыль; б) предельную прибыль в точке  . При каком объёме производства предельная и максимальная прибыль совпадают?
|
| 11-15 | Выручка от сдачи в аренду единиц площади определяется функцией
 . Найти: а) дополнительный доход при увеличении арендуемой площади с  до  единиц; б) предельный доход при  Сравнить результаты пунктов а) и б).
|
| 16-20 | Зависимость управленческих расходов R от количества произведенной продукции P определяется формулой  При каком количестве выпущенной продукции управленческие расходы будут минимальны?
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
|
| 21-25 | Себестоимость производства транзисторов описывается функцией  ,  , где х – объём выпускаемой продукции в месяц (тыс. шт.). Определить скорость и темп изменения себестоимости при выпуске N тыс. ед. и 2 N тыс. ед. продукции. Определить среднюю себестоимость при объёме продукции 
|
| 26-30 | Себестоимость продукции и функция полных затрат связаны с объёмом производства продукции х соответственно уравнениями
 ,  . Определить среднюю и предельную себестоимость при объёме продукции 1,2 N ед. При каком объёме производства совпадают предельные и средние затраты?
|
Задание 2
| Вариант | Задание | |
Предложение товара (S) относительно цены (р) определяется функцией  (усл.ед.). Рассчитать эластичность функции предложения и найти значения показателя эластичности для заданных значений р (ден. ед.). Дать экономическую интерпретацию полученным результатам.
| ||
| р = 4 | |
| р = 8 | |
| р = 4 | |
| р = 3 | |
| р = 2 | |
| p =5 | |
| p =6 | |
| Cпрос на товар (Д) в зависимости от дохода потребителей (х) определяется функцией Д (х). Рассчитать эластичность функции спроса относительно дохода и найти значение показателя эластичности для заданных значений х. Дать экономическую интерпретацию полученным результатам. | ||
| х = 2 | |
| х = 4 | |
| х = 2 | |
| х = 3 | |
| х = 8 | |
| х = 1 | |
| х = 2 | |
| Пусть функция полных затрат имеет вид К (х), где х ─ объём производимой продукции. Рассчитать эластичность функции полных затрат и найти значение показателя эластичности для заданных значений х. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов. | ||
| х = 30 | |
| х = 20 | |
| х = 4 | |
| х = 25 | |
| х = 3 | |
| х = 10 | |
| х = 30 | |
| х = 12 | |
| Спрос на товар (Q) относительно цены (р) определяется функцией Q (p). Рассчитать эластичность функции спроса относительно цены и найти значение показателя эластичности для заданных значений р. Дать экономическую интерпретацию полученным результатам. | ||
| р = 2 | |
| р = 12 | |
| р = 10 | |
| р = 2 | |
| р = 10 | |
| р = 2 | |
| p = 4 | |
| p = 2 |
Задание 3
Функция предложения некоторого товара 
(усл. ед.), а функция спроса 
(усл. ед.).
Определить цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются, выручку при равновесной цене.
При каких значениях р появляется дефицит товара, и при каких значениях цены появляются излишки товара? Что можно в каждом из этих случаев сказать об изменении рыночных цен?
Вычислить эластичность предложения и спроса для этой цены.
Найти интервалы, при которых функции 
и 
эластичны, неэластичны и точку, в которой они имеет единичную эластичность.
Как изменится равновесная цена и эластичность спроса при уменьшении предложения на рынке на T %.
Найти изменение дохода в процентах при увеличении цены на R %.
| вариант | a | b | c | d | k | m | n | T | R |
| -1 | |||||||||
| -2 | |||||||||
| -1 | |||||||||
| -2 | |||||||||
| -1 | |||||||||
| -2 | |||||||||
| -1 | |||||||||
| -2 | |||||||||
| -1 | |||||||||
| -2 |
Задание 4 (N – номер варианта)
Предприниматель решил открыть новую фирму по производству кисломолочных продуктов. При этом он готов на развитие этой фирмы выделить
A = 10 (N +2) млн. руб. Известно, что если на аренду помещения и приобретение нового оборудования выделить у млн. руб., а на зарплату новых сотрудников х млн. руб., то прирост объема выпускаемой продукции составит 
N 
. Как следует распределить выделяемые денежные средства, чтобы прирост объема выпускаемой продукции был максимальным.
Приложения определенного интеграла в решении и экономических задач
Если непрерывная функция характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени t, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени от t1 до t2, выражается формулой
Если в функции Кобба-Дугласа затраты труда считать линейно зависимыми от времени, а затраты капитала неизменными, то объем продукции V за Т лет равен
Издержки производства К однородной продукции есть функция количества продукции, т.е. 
Пусть объем продукции меняется от а до b единиц. Тогда, если функция 
непрерывна на {a, b}, то среднее значение издержек можно вычислить по теореме о среднем значении интеграла
.
Решая затем уравнение 
, можно указать объем продукции 
, для которого издержки принимают в среднее значение.
Общую сумму S текущих издержек обращения и капиталовложений, сводимых к текущим затратам, можно определить по формуле
Если проценты по вкладу начисляются непрерывно и их характеризует функция 
а удельная норма процента равна i, то дисконтированный до ход К за время Т составляет
Скорость оттока рабочей силы в момент времени Т можно определить при помощи уравнения восстановления
доля тех, кто был в начале 
и покинул предприятие в настоящий момент, при 
– скорость оттока людей, пришедших кому-то на смену; 
– полная скорость оттока заместителей, покидающих предприятие в настоящий момент.
►Пример. Определить объем продукции, произведенной рабочим с третьего по шестой часы работы, если его производительность труда задается функцией 
Решение. Объем продукции V выражается формулой:
◄
►Пример. Найти объем произведенной продукции за 5 лет, если функция Кобба–Дугласа 
Решение.
◄
►Пример. Найти среднее значение издержек 
выраженное в денежных единицах, если объем продукции х меняется от 0 до а единиц. Указать тот объем продукции, при котором издержки принимают среднее значение.
Решение. Находим среднее значение издержек K(c):
Находим тот объем продукции x, при котором издержки принимают среднее значение:
Так как 
, то 
◄
►Пример. Определить дисконтированный доход, если процентная ставка – 5%, первоначальные вложения – 5млн р., прирост – 1млн р. в год. Срок – 5 лет.
Решение. В нашем случае функция капиталовложения, согласно условию задачи, является линейной и равна 
, где 
, т.е. 
. Удельная норма процента i=0,05. Тогда дисконтированный доход равен:
◄
►Пример. Определить скорость оттока рабочей силы, если 
; 
; 
; 
.
Решение. Так как 
, то
◄
►Пример. Определить общую сумму текущих затрат, если функция, характеризующая текущие издержки обращения и капиталовложения, имеет вид 
Решение.
◄
Задание 5
| Вариант | Задания | ||
Определить объём продукции, произведенной рабочим за указанный промежуток времени, если его производительность труда задаётся функцией  . Провести экономический анализ
| |||
|
| промежуток времени | ||
| 1, 30 | 
| а) за весь рабочий день (8 часов), б) за второй и третий часы работы, в) за последний час работы. | |
| 2, 29 | 
| а) за весь рабочий день(8 часов), б) за первый час работы, в) за последний час работы. | |
| 3, 28 | 
| а) за весь рабочий день (8 часов), б) три первых часа работы, в) за последний час работы. | |
| 4, 27 | 
| а) за весь рабочий день (8 часов), б) за первую половину восьмичасового рабочего дня, в) за последний час работы. | |
| 5, 26 | 
| а) за весь рабочий день (8 часов), б) за третий, четвертый и пятый часы работы, в) за последний час работы. | |
| 6, 25 | 
| а) за весь рабочий день (8 часов), б) за пятый час работы, в) за последний час работы. | |
| 7, 24 | 
| а) за весь рабочий день (8 часов), б) со второго по шестой часы работы, в) за последний час работы. | |
| 8, 23 | 
| а) за весь рабочий день (8 часов), б) со второго по четвертый часы работы, в) за последний час работы. | |
| 9, 22 | 
| а) за весь рабочий день (8 часов), б) с третьего по седьмой часы работы, в) за последний час работы. | |
Найти объём произведенной продукции, если задана функция Кобба-Дугласа  и указан промежуток времени.
| |||
| 10, 16 | 
| за три года | |
| 11, 17 | 
| за один год | |
| 12, 18 | 
| за шесть лет | |
| 13, 19 | 
| за два года | |
| 14, 20 | 
| за четыре года | |
| 15, 21 | 
| за пять лет | |
Задание 6 (интегрированная задача)Модель рыночного равновесия
Пусть кривая спроса определяется функцией s (q), а кривая предложения функцией h (q).
1.Построить на одном чертеже графики зависимости спроса, предложения от цены.
Найти равновесное состояние (u) спроса и предложения. (
).
Найти точку, определяющую рыночную цену (P).
Определить на графике области избыточного предложения и избыточного спрос.
2.Определить по графику изменение спроса в зависимости от цены.
(Что происходит со спросом, когда растет цена, что происходит с кривой спроса при росте цен?)
3.Определить по графику изменение предложения в зависимости от цены. (Что происходит с предложением, когда растет цена, что происходит с кривой предложения при росте цен?)
4.Рассчитать ценовую эластичность спроса и ценовую эластичность предложения. Оценить является ли спрос и предложения эластичными, неэластичными, с единичной эластичностью.
(Указание: ценовая эластичность спроса и предложения определяются по формулам: 
, 
).
5. Определить ренту (излишек) продавца и покупателя.
Рента покупателя находится по формуле 
.
Рента продавца равна 
.
Суммарная рента 
.
6.Как изменится рыночная равновесная цена, если изменение цен на сырьё привело к изменению функции предложения в виде 
.
7. Оценить изменение ренты покупателя и продавца, если государство установило потолок цен Ps o.
Использовать следующие формулы вычисления ренты при ограничении цен:
Рента покупателя 
.
Рента продавца равна 
.
Суммарная рента 
.
u -точка равновесного спроса, P -рыночная цена, q o-количество товара, которое может быть куплено по цене Ps o, Ph - цена, по которой покупатели могли бы купить это количество товара, qh - количество товара, которое может предложить производитель по цене Ps o, Psh - цена, по которой покупатели могли бы купить это количество товара.
Параметры условия:
В зависимости от параметра j в i -варианте необходимо выбрать по следующему правилу формулы задания функций спроса s (q, i) и предложения h (q,i).
| j | s (q,i) | h (q,i) |
| A i/(q + b i) | k i q | |
| –A i q + b i | k i q + q 2 | |
| A i/(q + b i) | k i q + q 2 |
| i | j | A | b | k | c | Pso |
| 18,5 | 11.5 | 85,47 | ||||
| 5,6 | 9,8 | |||||
| 15.84 | ||||||
| 5,85 | 10,5 | 84,02 | ||||
| 64,52 | ||||||
| 7,4 | 36,24 | |||||
| 52,56 | ||||||
| 9,3 | 63,64 | |||||
| 8,9 | 47,26 | |||||
| 10,5 | 11,4 | |||||
| 11,9 | 90,22 | |||||
| 8,9 | 82,36 | |||||
| 11,5 | 77,7 | |||||
| 1,2 | 4,56 | |||||
| 11,5 | 71,4 | |||||
| 15,5 | 11,5 | 85,47 | ||||
| 5,6 | 9,8 | 112,5 | ||||
| 1,8 | 15,84 | |||||
| 10,5 | 84,52 | |||||
| 9,5 | 64,17 | |||||
| 36,3 | ||||||
| 9,6 | 52,56 | |||||
| 9.3 | 63,64 | |||||
| 19,5 | 8,9 | 47,26 | ||||
| 6,5 | 10,5 | |||||
| 7,35 | 11,9 | 90,22 | ||||
| 17,3 | 8,9 | 82,36 | ||||
| 6,35 | 11,5 | 77,7 | ||||
| 2,4 | 1,4 | 45,6 | ||||
| 11,5 | 71,4 |