РАБОТЕ № 1
Пример 1. Даны координаты вершин пирамиды : Найти:
1) длину ребра ;
2) угол между ребрами и ;
3) уравнение ребра , уравнение плоскости и угол между ребром и плоскостью ;
4) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань и ее длину;
5) площадь грани и объем пирамиды;
6) показать, что векторы , , образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение. Найдем координаты векторов, которые совпадают с выходящими из вершины ребрами пирамиды:
1) Длина ребра совпадает с расстоянием между точками и :
2) Определим угол между векторами, используя скалярное произведение. Так как то
,
3) Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид
Подставляя в уравнение координаты точек A1 и A4, получим
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, имеет вид
Подставляя в уравнение координаты точек , и , получим
Синус угла между прямой и плоскостью определяется по формуле
Используя эту формулу, находим
4) Уравнение высоты найдем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости , задаваемой уравнением . В качестве направляющего вектора прямой может быть взят вектор нормали плоскости . Уравнение высоты имеет вид
Для нахождения длины высоты можно использовать формулу Объем V и площадь будут найдены в п. 5). Поэтому
5) Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Найдем вначале векторное произведение этих векторов. Имеем
.
Объем пирамиды равен части объема параллелепипеда, построенного на данных векторах, поэтому вначале находим смешанное произведение этих векторов. Имеем
Поэтому .
6) Для того, чтобы векторы , ` , ` образовывали базис, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было отлично от нуля. В п. 5) мы уже вычислили смешанное произведение ` a = – 18 ¹ 0.
Таким образом, эти векторы образуют базис. Найдем координаты вектора в базисе` a, , . Обозначим эти координаты x, y, z. Тогда имеем равенство = x a + y + z , которое в координатной форме примет вид системы уравнений относительно неизвестных x, y, z
Решим систему уравнений методом Крамера. Определитель этой системы = 18. Вспомогательные определители:
, ,
.
Решение системы уравнений получим по формулам Крамера
Итак, вектор в базисе ` a, , имеет координаты ( 1;1;0).
Пример 2. Даны координаты вершин треугольника : , , . Найти:
1) уравнения сторон и их угловые коэффициенты;
2) угол в радианах или градусах с точностью до двух знаков;
3) уравнение высоты и ее длину;
4) уравнение медианы и координаты точки пересечения этой медианы с высотой .
Сделать чертеж.
Решение. Найдем координаты векторов и .
1) Уравнение стороны получим как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки . Подставляя в уравнение координаты точек A и В, имеем
, , .
Угловой коэффициент прямой равен . Аналогичным образом находим уравнение стороны :
, , .
Угловой коэффициент прямой равен .
2) Определим угол между векторами и , используя скалярное произведение. Так как то
, .
3) Уравнение высоты находится как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Имеем или . Длина высоты вычисляется как расстояние от точки до прямой :
.
4) Находим координаты середины отрезка :
, .
Уравнение медианы получается как уравнение прямой линии, проходящей через две точки и . Имеем
, .
Координаты точки пересечения прямых и находятся из системы уравнений этих прямых
Вычисления дают , .
Пример 3. Найдите уравнение линии в декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось OX - с полярной осью. Определите вид линии по уравнению в декартовой системе координат.
Решение. Воспользуемся формулами, связывающими координаты точки в декартовой и полярной системе координат: , , , , .
Получим
,
, .
Возведение в квадрат обеих частей приводит к равенству
.
Выделяя полный квадрат, получим
.
Разделив обе части уравнения на , убеждаемся, что искомая кривая является гиперболой
,
смещенной вдоль оси OX на вправо.
Пример 4 Составить уравнение линии,каждая точка которой одинаково удалена от прямой х = 2 и от точки А (4;0). Сделать чертеж.
Решение. Пусть точка М (х;у) принадлежит искомой линии. Расстояние между точками и вычисляется по формуле
.
По условию задачи .
Расстояние от точки до прямой, заданной уравнением , вычисляется по формуле
.
Уравнение прямой х – 2 =0. Следовательно . По условию задачи d= . Поэтому
.
Возведем обе части уравнения в квадрат. Приводя подобные, получим или . Следовательно, искомая линия является параболой.
Пример 5. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера и используя обратную матрицу
Решение. Вычислим определитель системы
.
Определитель отличен от нуля. Следовательно, система имеет единственное решение
1)Решая систему уравнений методом Крамера, вычислим дополнительные определители:
По формулам Крамера получим решение системы уравнений:
2) Так как определитель не равен нулю, то матрица системы является невырожденной и, следовательно, имеет обратную матрицу. Запишем исходную систему уравнений в матричном виде
.
Умножив обе части этого уравнения слева на матрицу A- 1, получим X= A- 1 B. Здесь A- 1 матрица обратная А, которая находится по формуле
Для построения обратной матрицы найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы A. Имеем
,
,
Обратная матрица A -1 имеет вид
, .
Следовательно, , .
Пример 6. Решить систему уравнений методом Гаусса
Решение. В соответствие с методом Гаусса запишем расширенную матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов
С помощью элементарных преобразований из расширенной матрицы системы получим треугольную матрицу. Умножим первую строку на -2 и прибавим ее ко второй. Умножим первую строку на -1 и прибавим ее к третьей. Умножим первую строку на -3 и прибавим ее к четвертой. Получим
.
Поменяем местами вторую и третью строки. Четвертую строку разделим на 4. Получим
Умножив полученную вторую строку на 3, прибавим ее к третьей строке; прибавим вторую строку к четвертой. Получим
Таким образом, основная матрица приведена к «треугольному виду». Система имеет единственное решение.
Запишем систему в явном виде
Осуществляя обратный ход от последнего уравнения к первому, получаем решение системы: