1. Пусть Определить промежуточное значение формулы конечных приращений для функции на сегменте .
2. Доказать неравенства: а) если и б)
3. Найти на кривой точку, касательная в которой параллельна хорде, соединяющей точки и
4. Верна ли формула конечных приращений для функции на сегменте , если
5. Найти функцию такую, что , , если: а) ;
б) в) г)
6. Пусть функция имеет непрерывную производную в интервале . Можно ли для всякой точки указать две другие точки и из этого интервала такие, что
?
Рассмотреть пример: , где .
7. Доказать, что если функция дифференцируема, но не ограничена на конечном интервале , то её производная также не ограничена на интервале . Обратная теорема неверна (построить пример).
8. Показать, что для функции и существует конечный предел , однако функция не имеет односторонних производных и . Дать геометрическую иллюстрацию этого факта.
9. Доказать неравенства: а) , б)
10. Доказать неравенства: а)
б)
Производные и дифференциалы высших порядков
Определение.
Пусть функция имеет конечную производную в некотором промежутке . Если функция дифференцируема в точке , то производная от производной называется второй производной функции в указанной точке (или производной второго порядка) и обозначается
.
Так как скорость точки есть производная от пути S по времени , ускорение a есть производная от скорости , то ускорение является второй производной от пути по времени.
Аналогично, если функция имеет вторую производную в промежутке , то ее производную, конечную или нет, называют третьей производной или производной третьего порядка и обозначают
.
Определение.
Если - я производная функции дифференцируема в точке , то её производная называется производной n-го порядка или n-той производной от функции в точке и обозначается: .
Таким образом, понятие n -той производной введено индуктивно посредством соотношения , которое называется рекуррентным.
При вычислении производных высших порядков необходимо использовать все правила дифференцирования. Кроме того, имеет место следующая важная теорема.
Теорема.
Пусть функции и имеют в точке производные -го порядка, тогда функции , также имеют производные -го порядка в точке , причём:
,
.
Последняя формула называется формулой Лейбница.
Введенный индуктивно метод нахождения производной n -го порядка какой-либо функции требует знания всех предшествующих производных. Однако в некоторых случаях оказывается возможным установить такое представление для n -ой производной, которое зависит только от n, что дает возможность не находить предшествующие производные.
Пример 1. Найти производные - го порядка от основных элементарных функций: а) ; б) ;
в) ; г) ; д) .
а) Рассмотрим функцию , где - любое вещественное число. Последовательно вычисляя производные, находим
, ,
.
Легко усматривается общий закон
,
который, вообще говоря, требует обоснования. Для этого воспользуемся методом математической индукции. Предполагая, что для данного n формула верна, продифференцируем её еще раз. Получим
.
Т.е., наша формула оказывается верной и для (n +1)-ой производной. Откуда вытекает ее справедливость для всех значений n.
Если взять , то будем иметь:
.
При получим:
При натуральном k -я производная будет постоянным числом k!; и все следующие производные окажутся нулями. Ясно, что - я производная многочлена степени n также будет нулем.
б) Для функции предварительно возьмем ее первую производную . Взяв -ю производную от обеих частей данного равенства и воспользовавшись результатом предыдущего примера (случай ), получим:
.
в) Для показательной функции имеем
, , .
Приходим к общей формуле
,
легко доказываемой по методу математической индукции, в частности, .
г)-д) Рассмотрим тригонометрические функции и . Например, для имеем:
, , , .
Для
, , , .
Если заметить, что каждое дифференцирование приводит к сдвигу аргумента на :
, ,
то сразу находим
, .
Пример 2. Пусть и - дважды дифференцируемые функции. Найти , если .
Используя правило дифференцирования показательно-степенной функции, последовательно получим: ,
.
Пример 3. Пусть трижды дифференцируемая функция. Найти , , если .
Применим правило дифференцирования сложной функции:
, ,
.
Пример 4. Найти , если .
Воспользуемся формулой Лейбница, для этого положим: , . Тогда , , ; (пример 1б). Поэтому: , .
Пример 5. Найти , если .
Пусть , . Используя данные примера 1г, получим: . Учитывая, что , , а для всех , будем иметь:
.
Отметим, что формула Лейбница особенно эффективна в том случае, когда одна из перемножаемых функций имеет лишь конечное число отличных от нуля производных, а вычисление всех производных другой функции не представляет затруднений.
Пример 6. Найти , если .
Чтобы найти n- тую производную функции , предварительно вычислим ее первую производную
,
которую, используя вспомогательный угол такой, что
, ,
можно представить в виде
.
Замечая, что дифференцирование приводит к сдвигу на угол и умножению на , устанавливаем общий закон
,
обоснование которого осуществляется по методу математической индукции:
.
Пример 7. Найти через , если .
Для первой производной легко получим выражение через :
, ,
Тогда:
.
Дифференцируя еще раз, находим:
.
В результате приходим к общей формуле
,
для доказательства которой, опять-таки, используется метод математической индукции:
.
Применяя эту формулу, найдем значение . Так как , то:
Пример 8. Найти , если .
Разложим данную функцию на простые дроби:
. По формуле, полученной в пример 1а, будем иметь:
.
Определение дифференциала высших порядков.
Дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом функции в некоторой точке называется дифференциал, вычисленный в этой точке от ее первого дифференциала:
.
Все последующие дифференциалы определяются по индукции: .Таким образом, дифференциалом -го порядка или -м дифференциалом функции называется дифференциал от ее -го дифференциала:
.
При вычислении дифференциалов высших порядков важно помнить, что есть произвольное, малое или нет, и не зависящее от x число, которое при дифференцировании по x следует рассматривать как постоянный множитель. Тогда
,
.
По индукции: , .
Последнее равенство показывает, что производную n -го порядка можно рассматривать как дробь.
Используя представление для дифференциала n -го порядка, преобразуем формулу Лейбница, умножив ее на . Тогда получим
, , .
Поставим вопрос, переносится ли на дифференциалы высших порядков свойство инвариантности формы. Пусть функции и - достаточное число раз дифференцируемы. Составим сложную функцию . Ее первый дифференциал можно записать в форме: , .
Вычислим второй дифференциал по :
.
При этом мы воспользовались инвариантностью формы первого дифференциала. В результате .
Если бы x была независимой переменной, то второй дифференциал имел бы вид: .
Таким образом, свойство инвариантности формы не имеет места для дифференциалов высших порядков. Для дифференциалов третьего и высших порядков число добавочных членов возрастает:
.
Пример 9. Пусть и - дважды дифференцируемые функции. Найти , если: 1) ( и - постоянные); 2) .
1) Используем определение первого и второго дифференциалов и правила дифференцирования:
,
.
2) ,
.
Пример 10. Найти , если , где - функция переменной , дифференцируемая достаточное число раз.
Для согласно свойству инвариантности формы получим: . Далее воспользуемся формулой Лейбница. Пусть:
, , тогда:
Пример 11. Выразить производные и от функции через последовательные дифференциалы переменных и , не предполагая независимой переменной.
Последовательно находим:
, ,
.
Эти формулы дифференцирования являются наиболее общими; если считать x независимой переменной, то все дифференциалы x, начиная со второго, оказываются нулями и мы приходим к уже известным формулам.
Формулы, полученные в предыдущем примере, позволяют осуществлять дифференцирование параметрически заданной функции:
, .
Предполагая наличие производных соответствующих порядков по t, находим: ,
,
.
Пример 12. Найти производные , , от следующих
параметрически заданных функций: 1) , ; 2) , .
1) ,
.
2) , ,
, при этом .
Формулы для нахождения производных высших порядков используются для упрощения выражений, содержащих производные высших порядков по одной переменной при переходе к новой переменной, и осуществляют замену переменной.
Пример 13. В выражении перейти от к новой переменной .
Так как , , , то
, .
Подставляя эти равенства в исходное выражение, получим:
.
Пример 14. В выражении поменять ролями переменные x и y.
Используя формулы, полученные в примере 11 и учитывая, что роль переменной играет , а значит: , будем иметь:
.
Следовательно, .