Тема: «Дифференциальные уравнения»
Краткая теория и методические указания для решения:
1. Дифференциальные уравнения I порядка: или или . Общее решение – это совокупность решений или , зависящих от произвольной постоянной С.
Виды и методы решения некоторых дифференциальных уравнений I порядка:
1.1 Уравнения с разделяющимися переменными
Алгоритм решения:
а) ; Умножим на обе части уравнения. Получим б) ;
в) Разделим переменные, чтобы слева были функции, зависящие от у, а справа – от х. Для этого разделим обе части уравнения на . Получим ;
г) Произведя интегрирование (слева по , справа по ) получим решение
.
1.2 Однородные дифференциальные уравнения I порядка , где имеет вид или может быть приведена в виду , тогда уравнение заменой приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Получаем и уравнение принимает вид , т.е. и . Решив это уравнение, получим t как функцию от х. Подставив , получим решение уравнения в неявном виде.
Примечание. Дроби и приводятся к виду делением числителя и знаменателя на одно и то же выражение: на , на .
1.3 Линейные дифференциальные уравнения I порядка ( и у входят в первой степени). Методом Бернулли заменой приводим к последовательному решению двух уравнений с разделяющимися переменными относительно и затем . . Подставим в уравнение: или (1.2.1). Определим таким образом: . Решив это уравнение, одно частное решение подставим в (1.2.1). Получим уравнение относительно : . Определим общее решение . Общее решение уравнения 1.2 есть .
1.4 Уравнения в полных дифференциалах.
Уравнение может быть записано в дифференциальной форме:
1.4.1
Это уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если
, т.е. является полным дифференциалом функ-
ции . При этом , 1.4.2
Для того, чтобы выражение , необходимо и доста-
точно, чтобы выполнялось условие
1.4.3 .
Тогда уравнение 1.4.1 имеет вид .
1.4.4 Общее решение этого уравнения ( - произвольная постоянная).
1.4.5 Метод нахождения функции .
Интегрируем равенство (1.4.2) по при фиксированном
(при этом произвольная постоянная может зависеть от ). Получим
1.4.6 . По равенству 1.4.2 , тогда
, откуда
Благодаря условию 1.4.3 в правой части этого уравнения будет только функция
от .
Находим интегрированием по , подставляем в 1.4.6 и в 1.4.4.
2. Дифференциальные уравнения II порядка. . Общее решение – это совокупность решений
вида , где и – произвольные постоянные.
2.1 Дифференциальные линейные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами. , и – постоянные числа. Если , то уравнение называется однородным, если , то неоднородным.
Общее решение неоднородного уравнения , где – общее решение однородного уравнения, – какое-нибудь частное решение неоднородного уравнения.
2.1.1. Решение однородного линейного уравнения II порядка
Составим и решим характеристическое уравнение . Дискриминант .
Могут быть 3 случая:
а) , два разных действительных корня и , ;
б) , два равных действительных корня: = , ;
в) , два комплексных корня: и , – мнимая единица, , – действительная, – мнимая часть комплексного числа; . Если , .
2.1.2. Нахождение частного решения неоднородного уравнения методом неопределённых коэффициентов в зависимости от вида правой части уравнения .
и – корни характеристического уравнения.
2.1.2.1. (а и – данные числа)
а) , , ;
б) , или .
2.1.2.2.
а) , , ;
б) , или .
в) .
2.1.2.3. (а, , – данные числа, а или может быть равно 0).
а) , , ;
б) или .
Коэффициенты M и N находят методом неопределённых коэффициентов. Подставим , , в уравнение 2.1. получим . Приравняем коэффициенты в левой и правой части при одинаковых степенях х, или при , или при , или при , или при , или при , или при и при .
2.1.3. Частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях . Выпишем общее решение неоднородного уравнения: , найдем . Подставим начальные условия в выражение для и , получим систему двух уравнений относительно и . Найдя и , подставим их значения в решение у.
Примеры
- Найти общее решение дифференциального уравнения .
Это уравнение с разделяющимися переменными 1.1.
а) ; б) ; в) ; г) ;
Решение .
2. Найти общее решение дифференциального уравнения . Это однородное дифференциальное уравнение I порядка.Разделим числитель и знаменатель дроби в правой части уравнения на .
Получим . Пусть ;
.
; . Вычислим
. Подставив , получим решение: .
3. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Это линейное уравнение I порядка вида 1.3. Замена , , , . Решаем , , , , . Подставляем , т.е. , ; , , , тогда решение .
4. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Здесь , .
Проверим условие (1.4.3)
; .
Условие 1.4.3 выполнено, следовательно, уравнение является уравнением в
полных дифференциалах.
Решение. Интегрируем по при постоянном равенство .
Получим
Далее, по 1.4.2.
То есть .
Или , тогда .
По 1.4.6 .
По 1.4.4 .
5. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям . Решаем по 2.1).
Решение.
а) Однородное уравнение (2.1.1). Характеристическое уравнение .
б) Частное решение неоднородного уравнения (2.1.2) ; ; .
Ищем ; . Подставим в неоднородное уравнение:
.Приравниваем коэффициенты при и в левой и правой части тождества
. Итак, .
в) Общее решение: .
г) Найдём частное решение при начальных условиях (по 2.1.3): Из в) найдем
. Подставим начальные условия:
. Частное решение: при ; .
Варианты контрольной работы
Контрольная работа содержит 4 задания:
1) Найти общее решение однородного дифференциального уравнения I порядка
2) Найти общее решение линейного дифференциального уравнения I порядка.
3) Найти общее решение дифференциального уравнения порядка, предварительно убе-
дившись, что это есть уравнение в полных дифференциалах.
4) Найти частное решение дифференциального уравнения II порядка , удовлетворяющее начальным условиям .
. № вар-та | Задания |
1) ; 2) ; 3) ; 4) | |
1) ; 2) ; 3) ; 4) | |
1) ; 2) ; 3) ; 4) | |
1) ; 2) ; 3) ; 4) | |
1) ; 2) ; 3) ; 4) | |
1) ; 2) ; 3) ; 4) | |
1) ; 2) ; 3) ; 4) | |
1) ; 2) ; 3) ; 4) | |
1) ; 2) ; 3) ; 4) | |
1) ; 2) ; 3) ; 4) |