Краткая теория и методические указания
к выполнению контрольных заданий
1) Скалярное поле, градиент, производная по направлению.
Задана функция в области D (задано скалярное поле в области D) и точка в области D.
1.1) Градиентом функции называется вектор ; – частные производные функции z по x и по y. Направление вектора градиента в точке – это направление наискорейшего возрастания поля в этой точке, а модуль вектора градиента – величина максимальной скорости возрастания. Модуль (длина) градиента . Направляющие косинусы градиента , , где и – углы вектора с осями х и у.
1.2) Производная от функции в точке по направлению вектора вычисляется по формуле , где – значения частных производных в точке А; – направляющие косинусы вектора . Модуль вектора . Значение – это скорость изменения поля в направлении вектора , если > 0, то поле возрастает, если < 0, то поле убывает.
2) Криволинейные интегралы вдоль кривой от точки до точки .
2.1) Криволинейный интеграл по длине дуги (I рода) применяется, в частности, для
вычисления массы или заряда, распределенных по кривой с плотностью
2.2) Криволинейный интеграл по координатам (II рода) применяется, в частности, для
расчета работы силового поля при перемещении мате-
риальной точки по кривой
2.3) Вычисление криволинейных интегралов сводится к вычислению определенных ин-
теграллов.
Дифференциал длины дуги ;
2.3.1) Пусть кривая задана параметрически
Тогда ,
,
где и - значения параметра, соответствующие точкам и линии .
2.3.2) Пусть уравнение линии задано .
Тогда .
,
где и - абсциссы точек и линии .
2.3.3) Криволинейный интеграл по координатам
можно записать в виде криволинейного интеграла по длине дуги, так как
, , где и - косинусы углов вектора, касательно-
го к линии , соответственно с осью и осью (направляющие косинусы).
2.3.4) Криволинейные интегралы от функции 3-х переменных по пространственной линии.
Тогда - плотность массы (заряда) и вектор силового поля
являются функциями трех переменных .
Вычисление криволинейных интегралов сводится к вычислению определенных интег-
ралов.
Если кривая задана параметрическими уравнениями: , то
, ,
,
где и значения параметра , соответствующее начальной и конечной точ-
кам кривой .
3. Поверхностные интегралы.
3.1. Поверхностный интеграл по площади (I рода).
Применяется, в частности, для вычисления суммарных массы или заряда, распреде-
ленных по поверхности с плотностью .
- дифференциал площади поверхности .
3.2. Поверхностный интеграл по выбранной стороне поверхности ( рода)
Применяется, в частности, для вычисления потока жидкости через поверхность ,
если скорость потока
, где - единичный вектор нормали к поверхности ,
, - углы нормали к поверхности с осями
соответственно.
3.3. Вычисление поверхностных интегралов сводится к вычислению двойных интегралов
3.3.1 Если поверхность можно записать в виде , - проекция поверхнос-
ти на плоскость , то или .
Если поверхность можно записать в виде , - проекция поверхнос-
ти на плоскость , то или .
Если поверхность можно записать в виде , - проекция поверх-
ности на плоскость , то или .
Тогда можно вычислить с помощью двойных интегралов.
или
или
Для вычисления поверхностного интеграла рода углы считаются
острыми.
3.3.2 При вычислении поверхностных интегралов II рода различают стороны поверхно-
сти в зависимости от направления нормали к поверхности; , , -
направляющие косинусы нормали, проведенной к той стороне поверхности, по
которой проводится интегрирование
;
Можно записать так:
Обычно вычисление сводится к вычислению суммы двойных интегралов
Обозначение « » означает, что берем знак «+», если нормаль к поверхности
образует острый угол с соответствующей осью, знак «-», если угол больше
(для - с оью , для - с осью , для - с осью ).
4)Элементы векторного анализа.
Даны: векторное поле , поверхность и замкнутый контур .
4.1) Поток вектора через поверхность в направлении нормали к поверхности есть поверхностный интеграл
4.1.1) , где – углы нормали с осями . Поверхностный интеграл сводится к вычислению двойных интегралов по областям – проекциям поверхности на плоскости .
4.1.2) . « » означает, что знак «+», если нормаль к образует острый угол с соответствующей осью, знак «–», если угол больше 90º ( - с осью х, - с осью у, - с осью z).
4.2) Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру – это криволинейный интеграл.
4.2.1) . Он вычисляется по правилу 2).
4.2.2) Ротор векторного поля, характеризующий завихрение его силовых линий, вычисляется с помощью определителя: .
4.2.3) Формула Стокса. Поток ротора векторного поля через поверхность равен циркуляции вектора по границе этой поверхности. .
.
Направление обхода контура и направление нормали к поверхности должны быть согласованы так – если идти по контуру в направлении интегрирования так, что область внутри контура остается слева, то направление от ног к голове совпадет с направлением нормали.
4.3) Дивергенция (расходимость) поля есть .
4.3.1) Теорема Гаусса-Остроградского. Поток вектора изнутри замкнутой поверхности равен тройному интегралу от дивергенции поля по объёму, ограниченному этой поверхностью.
4.3.2) .
5)Соленоидальное и потенциальное поля.
Дано векторное поле .
5.1) Если , то поле называется соленоидальным (трубчатым).
5.2) Если , то поле называется потенциальным.
Тогда , - полный дифференциал скалярного поля . Потенциал , (5.3)
|
|
|
|
|
Примеры к решению контрольных заданий
Пример 1: Дана функция , вектор и точка .
1. Найдем градиент в точке . Воспользуемся 1.1)
; ; . Значения и в точке А получим, подставив координаты точки А. ; .
, т.е. ; направляющие косинусы градиента ; .
2. Найдём производную в точке А по направлению вектора . Пользуемся 1.2)
, где и – это направляющие косинусы вектора . ; ; ;
Вывод: По направлению вектора возрастает со скоростью 7,24 (меньше, чем по направлению градиента.
Пример 2.
Дана кривая .
1) Вычислить массу отрезка кривой от точки до точки , если зада-
на плотность . .
2) Вычислить работу силы при перемещении точки по
кривой от точки до точки . .
а) - эллипс, заданный пераметрически от точки до точки
. Найдем значение , соответствующее точке ;
Найдем значение , соответствующее точке
на : ,
(по 2.3.1)
1) Пусть плотность массы ;
;
Подставим вместо и их выражения через и
Для вычисления этого определенного интеграла вспомним формулы:
, ,
Тогда
Сделаем замену переменной . Тогда ,т.е
при ; при ;
Получим
Сделаем замену переменной . Тогда т.е ;
При , при ;
Получаем
. Ответ ;
2) Найти работу силы
Подставим вместо , их выражения через и
(Использовали формулу: )
Пример 3. Вычислить заряд с плотностью , распределенный по
поверхности , отсекаемой координатами плоскостями.
Решение. Заряд
Представим уравнение поверхности в виде . Тогда частные производные
и .
Подставим вместо его выражение из уравнения поверхности .
- проекция поверхности на плоскость - это треугольник .
Уравнение линии : , т.е. .
Координаты точки : ; ;
=
=
Ответ: суммарный заряд .
Пример 4: Даны векторное поле и плоскость (р), которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду . Пусть – основание пирамиды, принадлежащее плоскости (р), – контур, ограничивающий , – нормаль к , направленная вне пирамиды .
|
|
|
|
|
|
|
В данном случае ; по условию задачи – внешняя, следовательно и в формуле, определяющей надо взять знак «+». Тогда . . – элемент поверхности АВС. Перейдем в правой части равенства от поверхностного интеграла к двойному: . Заменив z из уравнения поверхности АВС: , получим .
б) Вычислить циркуляцию по замкнутому контуру (формулы 4.2 и 2.3.2). Контур составлен из отрезков АВ, ВС и СА, направление обхода указано стрелками. .
АВ: .
Выразим , .
ВС: .
Выразим , .
СА: .
Выразим , .
Вычислим циркуляцию по формуле Стокса ; S – поверхность АВС: . Находим (мы нашли раньше, что ).
. Перейдем в правой части к двойному интегралу по . ; .
Итак, циркуляция вектора по замкнутому контуру , найденная двумя способами, равна .
в) Определить поток векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлении внешней нормали к её поверхности непосредственно и применив теорему Остроградского. Сделать чертёж.
Решение: Используем формулы 4.1.1), 4.1.2), 4.3.1).
1) Найдем поток ∏ вектора как сумму потоков через грани . Направление внешних нормалей к граням указано стрелками на чертеже. .
|
|
|
|
т.к. направлена в сторону , то
;
(т.к. направлена в сторону ),
; ;
Поток через поверхность АСВ был найден в задаче 3 а) .
Поток через полную поверхность пирамиды .
Найдем поток П по теореме Остроградского , где – внешняя нормаль к поверхности. Находим . По формуле 4.3.2) получаем, имея .
Вывод: Поток вектора через полную поверхность , полученный двумя способами, равен .
Пример 5: Дано поле . Является ли оно соленоидальным или потенциальным?
а) , следовательно поле не является соленоидальным.
б)
.
Следовательно, поле потенциальное. Потенциал поля находим по формуле (5.3)