- Предел и непрерывность.
Задачи вычислительного характера
1. Дана последовательность Ограничена ли данная последовательность? Найти или доказать, что он не существует; найти .
2. Дана функция . Найти точки разрыва функции , описать тип разрыва. Если таких точек нет, объяснить почему.
3. Укажите какой-нибудь интервал , на котором для данной функции существует обратная функция.
4. Найти область определения функции , где заданные функции.
Задачи и вопросы теоретического характера
Функцияопределена формулой .
1. Будет ли функция непрерывной, если и непрерывны?
2. Будет ли монотонной, если и монотонны?
3. Каков характер монотонности функции , если
и возрастающие;
и убывающие;
одна из них возрастающая, а другая убывающая.
4. Равносильны ли следующие два утверждения: а) не имеет конечного предела
при ; б) при
5. Равносильны ли следующие два утверждения: а) непрерывна в точке ;
б)
Производная и дифференциал.
Задачи вычислительного характера
1. Найти на графике функции точку, в которой касательная параллельна (перпендикулярна) данной прямой.
2..Даны две дифференцируемые функции. Найти тангенс угла, образованного графиками этих функций в точке их пересечения.
3. Дифференцируема ли в заданной точке?
4. Используя дифференциал подходящей функции, вычислить приближенно одно из выражений вида: ,
5. Разложить заданную функцию по формуле Тейлора (выписать 3-4 слагаемых).
Задачи и вопросы теоретического характера
1. Дифференцируема ли функция в точке , если дифференцируема
в точке и ?
2. Пусть и / Обозначим
Сравните и при .
3. Тот же вопрос, если .
4. Приведите пример функции, непрерывной, но не дифференцируемой в некоторой точке.
5. Приведите пример функции, которая не дифференцируема в некоторой точке , но при этом ее график имеет касательную в точке .
6. Останется ли верной формула , если в нее подставить вместо дифференцируемую функцию ?
С. Исследование функции.
Задачи вычислительного характера
1. Функция задана явно или параметрически. Требуется найти:
точки локального экстремума функции;
точку на графике, в которой производная имеет локальный экстремум;
точку на графике, в которой касательная не существует;
интервалы выпуклости функции;
асимптоты (или доказать, что их нет).
2. В какой точке график функции имеет наибольшую кривизну?
3. Есть ли на графике точка, в которой кривизна наименьшая (наибольшая)?
4. Уравнение касательной плоскости в заданной точке.
Задачи и вопросы теоретического характера
1. Пусть дифференцируемая на (a; b) функция имеет на (a; b) ровно две точки минимума. Сколько при этом может быть точек максимума?
2. Верно ли, что из следует ? А обратное утверждение?
3. Будет ли четной производная четной функции? Тот же вопрос для нечетной.
4. Верно ли обратное утверждение?
5. Будет ли периодической , если периодическая функция?
6. Будет ли периодической , если известно, что периодическая?
7. Будет ли монотонной в малой окрестности точки , если при n =1, 2, а ? Указание: нужно использовать формулу Тейлора.
8. Будет ли монотонной в малой окрестности точки , если при n =1, 2, 3, а ?
9. Те же вопросы относительно выпуклости .
10. , где
эквивалентные бесконечно малые при
Сравните
11.
Сравните
12.
13. Пусть графики дифференцируемых функций и имеют общую точку и в ней - общую касательную. Чему тогда равен при ?
14. Пусть прямая пересекает график дифференцируемой функции в точке . Обозначим . Очевидно, при любом значении коэффициента функция при . При каком значении бесконечно малая будет иметь более высокий порядок, чем ?
15. Приведите пример функции, у которой график имеет разные асимптоты на и на .
16. Чему равна кривизна графика в точке перегиба?
17. Дана система уравнений
При каком условии система задает ровно одну функцию ?
При каком условии система задает ровно две функции и ?
18. Дана функция , точка и вектор . Вычислить . При каком векторе эта производная будет иметь наибольшее значение? Найти это значение.
19. Поверхности и имеют в точке
общую касательную плоскость. Какому условию удовлетворяют векторы
и ?