Приложение 1.
Перечень теоретических вопросов для подготовки к вступительному испытанию по математике в форме собеседования
1. Свойства степени с действительным показателем.
2. Определение логарифма. Основное логарифмическое тождество. Формула перехода к новому основанию.
3. Свойства логарифмов.
4. Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.
5. Таблица значений тригонометрических функций основных углов.
6. Формулы сложения: синус суммы и разности, косинус суммы и разности, тангенс суммы и разности.
7. Формулы: синус двойного угла, косинус двойного угла, тангенс двойного угла.
8. Основное тригонометрическое тождество. Произведение тангенса и котангенса одного и того же аргумента. Зависимость между тангенсом и косинусом одного и того же аргумента. Зависимость между котангенсом и синусом одного и того же аргумента.
9. Определение процента. Основные задачи на проценты: как найти процент от числа; как найти число по его проценту?
10. Правила выполнения действий с арифметическими дробями.
11. Формулы сокращенного умножения.
12. Формулы для вычисления площади треугольника.
13. Формулы для вычисления площадей прямоугольника, параллелограмма, трапеции и круга.
14. Формулы для вычисления объемов призмы, пирамиды, цилиндра и шара.
Приложение 2.
Перечень вопросов, используемых при составлении задач
К вступительному испытанию по математике в форме собеседования
1. Арифметические действия с обыкновенными и десятичными дробями.
2. Тождественные преобразования рациональных выражений: разложение на множители; сокращение дробей; сложение, вычитание, умножение и деление рациональных дробей.
3. Действия со степенями: произведение и частное степеней с одинаковыми основаниями; возведение степени в степень; возведение в степень произведения и частного.
4. Действия с корнями: корень из произведения и произведение корней; корень из частного и частное корней; корень из степени и степень корня.
5. Действия с логарифмами: сложение и вычитание логарифмов; переход от одного основания логарифма к другому; основное логарифмическое тождество.
6. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
7. Упрощение тригонометрических выражений: применение формул приведения; применение формул сложения.
8. Решение рациональных уравнений: линейные уравнения; квадратные уравнения; дробно-рациональные уравнения.
9. Решение рациональных неравенств: линейные неравенства; квадратные неравенства; дробно-рациональные неравенства
10. Решение систем рациональных уравнений.
11. Решение иррациональных, тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений.
12. Решение показательных и логарифмических неравенств.
13. Решение прямоугольного треугольника.
14. Геометрические фигуры и их свойства, измерение геометрических величин.
Приложение 3.
Примеры заданий, предлагаемых на вступительном испытании по математике в форме собеседования
1. Выполнить действия с дробями:
а) , б) , в) .
2. Вычислить:
а) , б) , в) , г) .
3. Представить в виде .
4. Вычислить:
а) , б) , в) .
5. В прямоугольном треугольнике АВС, катет АВ равен 3, катет ВС равен 4, найти синус, косинус, тангенс и котангенс угла А.
6. Дано Найти .
7. Пользуясь формулами тригонометрических функций суммы и разности углов найти .
8. Упростите выражение:
а) , б) , в) .
9. Решить уравнения, сделать проверку найденного решения:
а) , б) , в) .
10. Решить уравнение .
11. Решить неравенства:
а) , б) , в) . г).
12. Разложить на множители:
а) , б) , в) .
13. Сократить дроби:
а) , б) , в) .
14. Упростите выражение: .
15. Решить системы уравнений, сделать проверку:
а) б) в)
16. Решить уравнения:
а) , б) , в) .
17. Решите неравенство:
а) , б) , в) ; г) . д). .
е). .
18. Грибы при сушке теряют 80% своей массы. Сколько нужно взять свежих грибов, чтобы получить 1 кг сушеных.
19. Пять килограммов 35% раствора кислоты смешали с семью килограммами 65% раствора кислоты. Определите концентрацию полученного раствора кислоты.
20. Дан прямоугольный треугольник с прямым углом . Через центр вписанной в треугольник окружности проведен луч , пересекающий катет в точке . Известно, что . Найдите гипотенузу.
21. Высоты и остроугольного треугольника пересекаются в точке . Найдите градусную меру угла , где - центр окружности, описанной около треугольника .
22. Основание прямой призмы - треугольник , в котором . Угол между плоскостями и равен . Найдите площадь боковой поверхности призмы.
23. Прямая пересекает окружности цилиндра в точках и и наклонена к плоскости основания под углом . Плоскость, содержащая прямую , параллельна оси цилиндра и удалена от этой оси на расстояние 5. Найдите высоту цилиндра, если радиус ее основания равен 13.
24. Моторная лодка прошла 10 км по озеру и 4 км против течения реки, затратив на весь путь 1ч. Найти собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
25. Двое рабочих изготавливают по одинаковому количеству деталей. Первый выполнил эту работу за 6 часов, второй за 4 ч, так как изготовлял в час на 14 деталей больше первого. Сколько деталей изготовил второй рабочий.
Председатель предметной комиссии, к.т.н., доцент Заведующий кафедрой высшей математики, к.ф.-м. н., доцент | Белянина А.Ю. Микрюкова О.И. |
Приложение 4.
Демонстрационный вариант билета для вступительного испытания по математике в форме собеседования
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
“ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ”
«УТВЕРЖДАЮ» Председатель приемной комиссии, ректор ВоГТУ __________________ Соколов Л.И. «_ _ »______________2012 г. |
БИЛЕТЫНА вступительном экзамене ПО МАТЕМАТИКЕ
в форме собеседования
ВАРИАНТ № 1
1. Свойства степени с действительным показателем. (2 балла)
2. Вычислите: . (2 балла)
3. Вычислите: . (2 балла)
4. Вычислите: . (2 балла)
5. Решить уравнение: . (2 балла)
6. Цена на товар была понижена на 20%. На сколько процентов ее нужно повысить, чтобы получить исходную цену? (3 балла)
7. Найти , если , . (3 балла)
8. Решите уравнение . (3 балла)
9. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высоты АH и BD пересекаются в точке К, причем АК = 10 и HК = 8. Найдите площадь треугольника АBС. (4 балла)
10. Два велосипедиста отправились в 165-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 ч раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. (4 балла)
Председатель предметной комиссии по математике, к.т.н., доцент | Белянина А.Ю. |
Приложение 5.
Образец выполнения экзаменационных заданий из демонстрационного варианта для вступительных испытаний по математике в форме собеседования
1. Свойства степени с действительным показателем. (2 балла)
Критерии оценки выполнения задания | Баллы |
Все формулы записаны верно. | |
Допущены ошибки в написании формул | |
Остальные случаи |
2. Вычислите . (2 балла)
Образец возможного решения | |
Представим и, используя свойства степени с рациональным показателем, запишем искомое выражение: . Ответ: -64. | |
Критерии оценки выполнения задания | Баллы |
Приведена верная последовательность решения. Имеются верные обоснования моментов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, получен верный ответ. | |
Допущена вычислительная ошибка или описка, не влияющая на ход решения. | |
Решение неверно или отсутствует |
3. Вычислите . (2 балла)
Образец возможного решения | |
В данном случае воспользуемся основным логарифмическим тождеством , получим . Ответ: 4. | |
Критерии оценки выполнения задания | Баллы |
Приведена верная последовательность решения. Имеются верные обоснования моментов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, получен верный ответ. | |
Допущена вычислительная ошибка или описка, не влияющая на ход решения. | |
Решение неверно или отсутствует |
4. Вычислите: . (2 балла)
Образец возможного решения | |
Выполним решение по действиям: 1) ; 2) . Ответ: 7. | |
Критерии оценки выполнения задания | Баллы |
Приведена верная последовательность решения. Имеются верные обоснования моментов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, получен верный ответ. | |
Допущена вычислительная ошибка или описка, не влияющая на ход решения. | |
Решение неверно или отсутствует |
5. Решить уравнение: . (2 балла)
Образец возможного решения | |
, , , , . Ответ: 5. | |
Критерии оценки выполнения задания | Баллы |
Приведена верная последовательность решения. Имеются верные обоснования моментов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, получен верный ответ. | |
Допущена вычислительная ошибка или описка, не влияющая на ход решения. | |
Решение неверно или отсутствует |
6. Цена на товар была понижена на 20%. На сколько процентов ее нужно повысить, чтобы получить исходную цену? (3 балла)
Образец возможного решения | |
Пусть A –первоначальная цена товара. Процент – это сотая часть от числа. Тогда, после понижения на 20%, товар стал стоить . Примем полученное за 100%, тогда A – это x %. Составим пропорцию и найдем : . Тогда 125%-100% =25% и есть искомое число процентов. Ответ:25%. | |
Критерии оценки выполнения задания | Баллы |
Приведена верная последовательность решения. Имеются верные обоснования моментов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, получен верный ответ. | |
Допущена вычислительная ошибка или описка, не влияющая на ход решения. | |
Ход решения верен, но задача не доведена до конца | |
Решение неверно или отсутствует |
7. Найти , если , . (3 балла)
Образец возможного решения | |
1) Так как , то . 2) Тогда . Ответ: -3. | |
Критерии оценки выполнения задания | Баллы |
Приведена верная последовательность решения. Имеются верные обоснования моментов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, получен верный ответ. | |
Допущена вычислительная ошибка или описка, не влияющая на ход решения. | |
Ход решения верен, но задача не доведена до конца. | |
Решение неверно или отсутствует |
8. Решите уравнение . (3 балла)
Образец возможного решения | |
1) Возведем обе части равенства в квадрат: . Получим . 2) Решаем квадратное уравнение: 3) Проверяем, какие из корней квадратного уравнения являются и корнями иррационального уравнения: Ответ: . | |
Критерии оценки выполнения задания | Баллы |
Приведена верная последовательность решения. Имеются верные обоснования моментов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, получен верный ответ. | |
Допущена вычислительная ошибка или описка, не влияющая на ход решения. Получен ответ, содержащий посторонний корень. | |
Ход решения верен, но задача не доведена до конца. | |
Решение неверно или отсутствует |
9. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС высоты АH и BD пересекаются в точке К, причем АК = 10 и HК = 8. Найдите площадь треугольника АBС. (4 балла)
Образец возможного решения | |
1). Рассмотрим прямоугольные треугольники и . Данные треугольники являются подобными (по трем углам), значит, составим отношение сторон в этих треугольниках, лежащих против равных углов: , , . Тогда . По теореме Пифагора . 2). Пусть , тогда и . 3). Ответ: . | |
Критерии оценки выполнения задания | Баллы |
Приведена верная последовательность решения. Имеются верные обоснования моментов решения. Необходимые для решения чертежи, рисунки выполнены безошибочно. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, получен верный ответ. | |
Приведена верная последовательность решения. Имеются верные обоснования моментов решения. Необходимые для решения чертежи, рисунки выполнены безошибочно. Допущена вычислительная ошибка или описка, не влияющая на ход решения. В результате ошибки или описки возможен неверный ответ. | |
Приведена, в целом, верная, но неполная последовательность решения. Допустимы негрубые ошибки в вычислениях, преобразованиях. Ход решения верен, но задача не доведена до конца. В результате возможен неверный ответ. | |
Общая идея, способ решения верные, но задача не доведена до конца. | |
Решение неверно или отсутствует. |
10. Два велосипедиста отправились в 165-километровый пробег. Первый ехал со скоростью на 4 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 4 ч раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. (4 балла)
Образец возможного решения | |
Пусть x км/ч – скорость второго велосипедиста, тогда (x+4) км/ч – скорость первого велосипедиста. Время движения первого велосипедиста ч, время движения первого велосипедиста ч. Из условия задачи известно, что первый прибыл к финишу на 4 ч раньше второго, то можно составить уравнение: . , , , . Решая квадратное уравнение, получим: , - не удовлетворяет условию задачи. Значит, x =11 км/ч- скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Ответ: 11 км/ч. | |
Критерии оценки выполнения задания | Баллы |
Приведена верная последовательность решения. Имеются верные обоснования моментов решения. Правильно выполнены все преобразования и вычисления, получен верный ответ. | |
Приведена верная последовательность решения. Имеются верные обоснования моментов решения. Допущена вычислительная ошибка или описка, не влияющая на ход решения. В результате ошибки или описки возможен неверный ответ. | |
Приведена, в целом, верная, но неполная последовательность решения. Допустимы негрубые ошибки в вычислениях, преобразованиях. Ход решения верен, но задача не доведена до конца. В результате возможен неверный ответ. | |
Общая идея, способ решения верные, но задача не доведена до конца. | |
Решение неверно или отсутствует |
Председатель предметной комиссии по математике, к.т.н., доцент | Белянина А.Ю. |