КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Решение многих задач сводится к решению алгебраических уравнений.
Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. Однако, действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например, уравнение
х2 + 1 = 0
не имеет действительных корней. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел до нового множества, такого, чтобы в этом множестве уравнения вида х2 + а2 = 0 имели решения.
Корень уравнения х2 + 1 = 0 или х2 = -1 называется мнимой единицей и обозначается буквой i. Таким образом, символ i удовлетворяет условию
i2 = -1
Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b - действительные числа, i - мнимая единица. Число a называется действительной частью комплексного числа, а число bi - мнимой частью. Комплексное число обозначается буквой z. Запись комплексного числа в виде
z = a + bi
называется алгебраической формой записи комплексного числа.
Комплексное число z = 0+bi называется чисто мнимым, z = 0+bi = bi. При решении задач учитывать z = a+0i = a. Комплексное число z = 0+0i называется нулем. Комплексные числа a+bi и a-bi называются сопряженными.
ДЕЙСТВИЯ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
Суммой двух комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2 i
называется комплексное число
z1 + z2 = (a1+ a2) + (b1 + b2) i
Произведением двух комплексных чиселz1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2iназывается комплексное число
z1 z2 = (a1a2-b1b2 ) + (a1b2+a2b1) i
Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратнаясложению.
Деление - как операция, обратная умножению.
Формулы не нуждаются в запоминании. Формулы суммы, разности, произведения комплексных чисел получаются автоматически, если выполнять соответствующие действия и заменить i2 = -1.
При делении на комплексное число достаточно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
1. Найти сумму комплексных чисел z1 = 2+(- 1)i и z2 = (-1) + 3i
2. Найти разность комплексных чисел z1 = 4 + 5i и z2 = -2 + 3i
3. Найти произведение комплексных чисел z1 = 2 - 3i и
z2 = -4 + 2i
4. Вычислить (5 + 10i) + (1 + 2i) (3 - 4i)
5. Выполнить действие а)
б)
в)
6. Вычислить число z , обратное числу z = 3 - i
7. Вычислить степени i3, i4, i5, i-1, i-2, i-3
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Комплексное число z = a + bi изображается на координатной плоскости точкой М(a;b) или вектором ОМ, начало которого совпадает с началом координат, а конец - с точкой М.
|
|
мнимой осью.
|
|
Для модуля числа z = a + bi используются обозначения r, |z| или |a + bi|. На основании теоремы Пифагора
|z| = r =
Аргументом комплексного числа называется величина угла j между положительным направлением действительной оси и вектором, соответствующим этому числу
j = arctg ½ ½
(arctg½ ½ читается: угол, тангенс которого равен ).
Обозначения для аргумента числа z = a + bi: j, arg z или
arg (a + bi).
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
1. Построить радиус-векторы, соответствующие комплексным числам:
а) z = 2; б) z = -3; с) z = -3i; d) z = -2i; е) z = 2 + 3i.
y
2. Найти модуль и главное значение аргумента комплексных чисел:
а) z = 1 + i; б) z = i;
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА
Из рис.1, из треугольника ОМА можно выразить действительные числа a и b через модуль r и аргумент j числа z следующим образом:
a = r cos j
b = r sin j,
таким образом, комплексное число z можно записать в виде:
z = r (cos j + i sin j),
где r - модуль комплексного числа;
j- один из его аргументов.
Запись в таком виде называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа z = a + bi к тригонометрической, достаточно найти его модуль и один из аргументов. Аргумент комплексного числа z = a + bi можно находить из системы
cos j =
sin j =
ПРИМЕРЫ: 1. Записать число z = - - i в тригонометрической форме
Из условия a = - ; b = -1. Следовательно,
r = = = 2.
Аргумент заданного комплексного числа
j=arctg| |=arctg =arctg .
y
- O
-1 x
Вектор, соответствующий данному комплексному числу лежит в III координатной четверти. Поэтому j=7p/6 (см. таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов). Зная r и j перейдем к тригонометрической записи заданного комплексного числа.
z= - - i = 2 (cos 7p/6 + i sin 7p/6).
2. Записать число z = 2(cos 330 ° + i sin 330 ° ) в алгебраической форме.
Найдем cos 330°, sin 330°.
cos 330° = cos (360° - 30°) = cos 30°= ;
sin 330°= cos (360°- 30°) = -sin 30 = - .
Тогда a = 2() = ,
b = 2(- ) = -1.
Следовательно, z = 2(cos 330° + i sin 330°) = - i.