Лекция 2.
МАТРИЦЫ.
Основные понятия.
Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Матрица обозначается заглавными буквами латинского алфавита, например: A, B, C,…, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: aij, где i – номер строки, j – номер столбца.
Пример: a). ,
или, в сокращенной записи, A=(aij); i=1,2,…,m; j=1,2,…,n
b). B=
в). C= - матрица-столбец (вектор-столбец)
г). D=(1 2 3)= - матрица-строка (вектор-строка)
д). H= = =
Если колличество строк матрицы равно колличеству столбцов, то матрица называется квадратной.
Элементы матрицы aij, у которых номер столбца равен номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы.
Пример: Для квадратной матрицы главную диагональ образуют
элементы a11, a22, …, ann.
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной.
Пример: A= - диагональная матрица третьего порядка.
Если у диагональной матрицы n-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей n-го порядка, она обозначается буквой E.
Пример: Е= - единичная матрица третьего порядка.
Матрица любого размера называется нулевой, или нуль-матрицей, если все её элементы равны нулю.
Пример:
Операции над матрицами.
1. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число l называется матрица В=lА, элементы которой bij=lаij для i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.
Пример: Если А= , то 5А= .
Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
Пример: .
2. Сложение матриц. Матрицы одного типа можно складывать по следующему принципу:
А= , В= , А+В= ,
т.е. матрицы складываются поэлементно.
Пример: А= , В= , С=А+В=
3. Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой сij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В.
Пример: Вычислить произведение матриц А×В, где А= , В= .
1. Найдем размер матрицы-произведения (если умножение матриц возможно):
2. Вычислим элементы матрицы-произведения С, умножая элементы каждой строки матрицы А на соответствующие элементы столбцов матрицы В следующим образом: С=
Получаем С=
Примечание. В общем случае умножение матриц не обладает переместительным законом: А×В¹В×А
Пример: а).Найдем произведение В×А матриц из предыдущего примера
, число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А, Þ произведение матриц не существует.
б). А= , В=
А×В= × =
В×А= × =
А×В¹ В×А
Но существует два исключения:
1. Умножение на единичную матрицу обладает переместительным законом: А×Е=Е×А=А, где Е=
Пример: А= , Е= ,
А×Е= × = =А
Е×А= × = =А
2. Произведение взаимно-обратных матриц подчиняется переместительному закону: В×В-1=В-1×В=Е
4. Возведение в степень. целой положительной степенью Аm (m>0) квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, т.е. Аm= .
Примечание. Операция возведения в степень определена только для квадратных матриц.
Пример: А= , А2= × = .
5. Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице А’, в которой строки и столбцы поменялись местами.
Пример: А= , А’= .
Обратная матрица.
Для каждого числа а¹0 существует обратное число а-1 такое, что произведение а×а-1=1. Для квадратных матриц вводится аналогичное понятие.
1. Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как слева, так и справа получается единичная матрица:
А-1×А=А×А-1=Е
2. Найти матрицу обратную данной.
Пусть дана матрица В= .
Соответствующий этой матрице определитель (детерминант) имеет вид:
D=det B= .
Если det B=0, то обратная матрица не существует. И наоборот, если обратная матрица не существует, то det B=0.
Если det B¹0, то обратная матрица находится по формуле:
В-1=
где Аij – алгебраические дополнения элементов аij матрицы В.
Пример: В=
D=detB= =0+11+6=17¹0
A11= =-4, A21= =-1, A31= =4,
A12= =11, A22= =-10,,A32=- =6,
A13= =3, A23= =5, A33= =-3.
В-1= =
Это и есть матрица, обратная данной.
Ранг матрицы.
В матрице А размером m n вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные матрицы k -го порядка, где k £min(m,n). Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка.
Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.
Ранг матрицы обозначается rang A или r(A).
Пример: Вычислить ранг матрицы А= .
Матрица А имеет четвертый порядок, поэтому r (А)£4.
Однако =0, т.к. матрица А содержит нулевой столбец, поэтому r (А)£3. Все подматрицы третьего порядка тоже содержат нулевой столбец поэтому имеют нулевые определители, значит r (А)£2. Все подматрицы второго порядка либо имеют нулевой столбец (второй и четвертый), либо имеют пропорциональные столбцы (первый и третий), поэтому тоже имеют нулевые определители; таким образом r (А)£1. Поскольку матрица А имеет ненулевые элементы, то r (А)=1.
Решение систем линейных уравнений
Матричным способом.
Пример: Решить систему уравнений .
В= , С= , X= .
Тогда система в матричной форме имеет вид
В×X=C
Умножим обе части этого равенства с левой стороны на В-1
В-1×В×X= В-1×C
E×X= В-1×C
X= В-1×C –
решение в матричной форме.
Таким образом, для решения системы уравнений в матричной форме 1). Находим матрицу, обратную матрице системы.
2). Для получения ответа в обычной форме выполняем умножение матриц в правой части решения.
1). D= =0+6+20-0-0-9=17
А11= =-4, А21=- =-1, А31= =4,
А12= =11,А22= =-10, А32= =6,
А13= =3, А23= =5, А33= =-3
В-1=
2). X= В-1×C= × = = =
Ответ: x= , y= , z= .