.
Логарифмический декремент затухания d характеризует быстроту затухания колебаний
,
где A (t) и A (t + T) – амплитуды двух соседних колебаний.
Для N полных колебаний
.
Найдем связь между логарифмическим декрементом затухания и коэффициентом затухания
.
Обозначим через t время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,718 раз. Тогда
,
следовательно, .
.
Выясним физический смысл логарифмического декремента затухания.
,
где Ne – число колебаний, происходящих за время t.
.
13. Затухающие механические колебания. Амплитуда затухающих колебаний. Коэффициент затухания, физический смысл. Логарифмический декремент затухания, добротность, их физический смысл … затухающих колебаний.
Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени
,
здесь А 0 – амплитуда в начальный момент времени t = 0.
Логарифмический декремент затухания – величина, являющаяся мерой снижения амплитуды колебаний за один период, натуральный логарифм отношения амплитуд 2-х последовательных колебаний.
Логарифмический декремент затухания d характеризует быстроту затухания колебаний
,
где A (t) и A (t + T) – амплитуды двух соседних колебаний.
Для N полных колебаний
.
Коэффициент затухания - это постепенное ослабевание собственных колебаний, обусловленное потерями энергии колебательной системой и приводящее к уменьшению амплитуды колебаний
Физический смысл коэффициента затухания b. Коэффициент затухания есть величина, обратная времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз
.
Добротность колебательной системы характеризует ее способность сохранять энергию колебаний. Добротность пропорциональна отношению энергии W колебаний системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за период D W
.
Физический смысл. Добротность обратно пропорциональна логарифмическому декременту затухания или пропорциональна числу колебаний Ne, по прошествии которых амплитуда убывает в е = 2,718 раз
.
Выясним физический смысл логарифмического декремента затухания.
,
где Ne – число колебаний, происходящих за время t.
Физический смысл логарифмического декремента затухания d.
Логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний Ne, по завершению которых амплитуда уменьшается в е = 2,718 раз
.
14. Затухающие электромагнитные колебания в RLC-контуре. Вывод дифференциального уравнения.
Рассмотрим собственные колебания в контуре с сосредоточенными параметрами. Емкость С, индуктивность L и активное сопротивление R образуют (рис. 3) последовательный колебательный контур (RLC контур).
Будем считать, что электрические процессы в контуре квазистационарны. Это значит, что мгновенное значение силы тока i одно и то же в любом месте контура и к мгновенным значениям электрических величин можно применять правила Кирхгофа.
Согласно второму правилу Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраическая сумме ЭДС, в этом контуре. В нашем случае сумма напряжений на конденсаторе и на активном сопротивлении равна ЭДС самоиндукции, которая возникает за счет изменения тока в катушке при перезарядке конденсатора
,
где – напряжение на конденсаторе,
– напряжение на активном сопротивлении,
– ЭДС самоиндукции в катушке.
Используем определение силы тока
.
Закон Кирхгофа примет вид
.
Разделим обе части этого уравнения на L
.
Введем следующие обозначения
– коэффициент затухания,
– циклическая частота собственных колебаний контура.
Получили дифференциальное уравнение затухающих колебаний, описывающее изменение со временем заряда на обкладках конденсатора в RLC контуре
(1)
Это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с обыкновенными производными и с постоянными коэффициентами.
15. Затухающие электромагнитные колебания в RLC-контуре. Решение дифференциального уравнения период и частота колебаний.
Рассмотрим собственные колебания в контуре с сосредоточенными параметрами. Емкость С, индуктивность L и активное сопротивление R образуют (рис. 3) последовательный колебательный контур (RLC контур).
Будем считать, что электрические процессы в контуре квазистационарны. Это значит, что мгновенное значение силы тока i одно и то же в любом месте контура и к мгновенным значениям электрических величин можно применять правила Кирхгофа.
Согласно второму правилу Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраическая сумме ЭДС, в этом контуре. В нашем случае сумма напряжений на конденсаторе и на активном сопротивлении равна ЭДС самоиндукции, которая возникает за счет изменения тока в катушке при перезарядке конденсатора
Дифференциальное уравнение затухающих колебаний, описывающее изменение со временем заряда на обкладках конденсатора в RLC контуре
(1)
Это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с обыкновенными производными и с постоянными коэффициентами. Решение этого уравнения имеет различный вид в зависимости от соотношения между коэффициентами.
1) Если w 0 > b, то решением уравнения (1) является уравнение затухающих колебаний
, (2)
где: q 0 – заряд конденсатора в начальный момент времени,
j 0 – начальная фаза.
Значения q 0 и j 0 определяются из начальных условий.
Циклическая частота затухающих колебаний меньше собственной частоты
.
Период затухающих колебаний всегда больше периода собственных колебаний
.
Разделив (2) на электроемкость конденсатора С, получим напряжение наконденсаторе
.
Чтобы найти силу тока, продифференцируем (2) по времени
,
.
Умножим и разделим это выражение на
.
Введем угол a, определяемый условиями (рис.4)
,
.
Тогда можно записать
,
.
Поскольку cos a > 0, а sin a > 0, то 0 < a < p /2.
Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на p /2 и менее чем на p (при R = 0 на p /2).
График затухающих колебаний заряда q изображен на рис. 5. Графики для напряжения и силы тока имеют аналогичный вид.
2) Пусть сопротивление контура велико, так что b > w 0. В этом случае частота затухающих колебаний будет мнимой
,
где – мнимая единица.
Это значит, что электрических колебаний в контуре не будет. В этом случае решение дифференциального уравнения (1) имеет вид апериодического процесса
,
, ,
где А 1 и А 2 постоянные, так как b > w 0, то К 1 и К 2 оба вещественны и положительны.
Значения постоянных определяются начальными условиями задачи
,
.
Это дает , .
После чего решение принимает вид:
.
На рис. 6 изображены графически оба слагаемых этой формулы (пунктир) и их сумма (сплошная линия). Вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора. Если сопротивление контура очень велико, так что b >> w 0, то К 1 >> К 2 и в последнем выражении можно пренебречь вторым слагаемым по сравнению с первым, а в знаменателе – К 2 по сравнению с К 1. Тогда .
j |
t |
A 0 e–bt |
Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени
,
здесь А 0 – амплитуда в начальный момент времени t = 0.
Коэффициент затухания - это постепенное ослабевание собственных колебаний, обусловленное потерями энергии колебательной системой и приводящее к уменьшению амплитуды колебаний
Физический смысл коэффициента затухания b. Коэффициент затухания есть величина, обратная времени, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз
.
Период затухающих колебаний всегда больше периода собственных колебаний
.
Логарифмический декремент затухания – величина, являющаяся мерой снижения амплитуды колебаний за один период, натуральный логарифм отношения амплитуд 2-х последовательных колебаний.
Логарифмический декремент затухания d характеризует быстроту затухания колебаний
,
где A (t) и A (t + T) – амплитуды двух соседних колебаний.
Для N полных колебаний
.
Добротность колебательной системы характеризует ее способность сохранять энергию колебаний. Добротность пропорциональна отношению энергии W колебаний системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за период D W
.
Найдем связь между добротностью и логарифмическим декрементом затухания. При малых затуханиях w0 > b энергия меняется по закону
.
Найдем изменение энергии за один период колебаний
,
т.к. , если .
Подставим в добротность и учтем что d = bТ
.
Физический смысл. Добротность обратно пропорциональна логарифмическому декременту затухания или пропорциональна числу колебаний Ne, по прошествии которых амплитуда убывает в е = 2,718 раз
.
Выясним физический смысл логарифмического декремента затухания.
,
где Ne – число колебаний, происходящих за время t.
Физический смысл логарифмического декремента затухания d.
Логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний Ne, по завершению которых амплитуда уменьшается в е = 2,718 раз
.
17. Вынужденные механические колебания. Вывод дифференциального уравнения вынужденных колебаний.
Вынужденными механическими колебаниями называются колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или внешней периодически изменяющейся ЭДС.
Помимо сил упругости и вязкого трения, на шарик действует внешняя вынуждающая периодическая сила, изменяющаяся по гармоническому закону .
Частота, которой может отличаться от собственной частоты колебаний маятника ωo. Природа этой сил в данном случае нам не существенна. Создать такую силу можно различными способами, например, сообщить шарику электрический заряд и поместить его во внешнее переменное электрическое поле. Уравнение движения шарика в рассматриваемом случае имеет вид
По второму закону Ньютона, записанному в проекциях на ось x:
- ДУ вынужденных колебаний.
- Вынужденные механические колебания. Решение дифференциального уравнения. Резонанса.
- Вынужденные колебания в RLC-контуре. Вывод дифференциального уравнения вынужденных колебаний.
Вынужденными называются такие колебания, которые происходят в колебательной системе под влиянием внешнего периодического воздействия.
Рассмотрим процессы, протекающие в электрическом колебательном контуре (рис. 1), присоединенном к внешнему источнику, ЭДС которого изменяется по гармоническому закону
,
где em – амплитуда внешней ЭДС,
w – циклическая частота ЭДС.
Обозначим через UC напряжение на конденсаторе, а через i - силу тока в контуре. В этом контуре кроме переменной ЭДС e (t) действует еще ЭДС самоиндукции eL в катушке индуктивности.
ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна скорости изменения силы тока в контуре
.
Для вывода дифференциального уравнения вынужденных колебаний, возникающих в таком контуре используем второе правило Кирхгофа
.
Напряжение на активном сопротивлении R найдем по закону Ома
.
Cила электрического тока равна заряду протекающему за единицу времени через поперечное сечение проводника
.
Следовательно
.
Напряжение UC на конденсаторе прямо пропорционально заряду на обкладках конденсатора
.
ЭДС самоиндукции можно представить через вторую производную от заряда по времени
.
Подставляя напряжения и ЭДС во второе правило Кирхгофа
.
Разделив обе части этого выражения на L и распределив слагаемые по степени убывания порядка производной, получим дифференциальное уравнение второго порядка
.
Введем следующие обозначения и получим
– коэффициент затухания,
– циклическая частота собственных колебаний контура.